Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho:

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện theo các bước như sau:

**Bài toán:**
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(BC\), lấy điểm \(D\) trên cạnh này sao cho \(DB = 4 \text{cm}\), \(DC = 6 \text{cm}\). Điểm \(D\) nằm trên đường thẳng song song với \(AC\) tại điểm \(M\) trên \(AB\) với \(AM = 3 \text{cm}\). Tính \(AM + AN\) và \(\frac{AB}{AC}\).

**Giải:**

1. **Thông tin đã cho:**
- \(DB = 4 \text{cm}\)
- \(DC = 6 \text{cm}\)
- Tổng độ dài \(DC + DB = 10 \text{cm}\) (đây là độ dài của cạnh \(BC\)).
- \(AM = 3 \text{cm}\), \(D\) nằm trên đường thẳng song song với \(AC\).

2. **Dựa vào tính chất của các đường thẳng song song:**
- Khi \(D\) nằm trên đường thẳng song song với \(AC\), dùng định lý Thales:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{DC}{BC}
\]
- Thay số:
\[
\frac{3}{AB} = \frac{6}{10} \Rightarrow AB = 5 \text{cm}
\]

3. **Tính tỉ lệ:**
- Chúng ta đã tính được \(AB = 5 \text{cm}\). Lúc này \(AC\) sẽ được tính bằng cách sử dụng định lý Thales một lần nữa.

\[
\frac{AM}{AN} = \frac{DB}{DC}
\]
- Thay số:
\[
\frac{3}{AN} = \frac{4}{6} \Rightarrow AN = \frac{3 \times 6}{4} = 4.5 \text{cm}
\]

4. **Tính tổng \(AM + AN\):**
\[
AM + AN = 3 \text{cm} + 4.5 \text{cm} = 7.5 \text{cm}
\]

5. **Tính tỉ số \(\frac{AB}{AC}\):**
- Mùa này chưa có thông tin cụ thể về \(AC\) trong bài toán, nhưng nếu bạn có chiều dài của \(AC\), có thể thay vào đây để tính tỉ số.

**Kết luận:**
- \(AM + AN = 7.5 \text{cm}\)
- Bạn cần chiều dài của \(AC\) để tính \(\frac{AB}{AC}\).