Để chứng minh đẳng thức

\[
\overline{BC} \cdot \overline{AD} + \overline{CA} \cdot \overline{BE} + \overline{AB} \cdot \overline{CF} = 0,
\]

ta sẽ sử dụng định lý về trọng tâm của tam giác và một số tính chất hình học liên quan đến các đường trung tuyến.

1. **Xác định điểm trọng tâm**: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Các đường trung tuyến AD, BE, CF sẽ cắt nhau tại G.

2. **Tính chất tỷ lệ của trọng tâm**: G là trọng tâm nên từ A đến G đi qua 2/3 chiều dài AD, tương tự cho các đường trung tuyến khác. Do đó, ta có:
- \( AG = \frac{2}{3}AD \)
- \( BG = \frac{2}{3}BE \)
- \( CG = \frac{2}{3}CF \)

3. **Xét diện tích tam giác**: Diện tích tam giác ABC có thể được biểu diễn theo các đường trung tuyến. Ta có mối quan hệ giữa diện tích tam giác và chiều dài đường trung tuyến.

4. **Áp dụng định nghĩa diện tích**:
- Diện tích của tam giác ABC có thể được tính bằng công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot h_a,
\]
trong đó \( h_a \) là chiều cao từ A đến BC.

- Tương tự cho các tam giác khác.

5. **Áp dụng tính chất đường trung tuyến**:
- Trong tam giác, ta có thể biểu diễn quan hệ giữa các cạnh và đường trung tuyến để có được các đẳng thức mối liên hệ.

Bằng cách thay thế các biểu thức trên, lập luận dựa vào các mối liên hệ này, ta từ từ dẫn dắt đến việc kết hợp bằng cách cộng các phương trình này lại với nhau để chứng minh rằng tổng này bằng 0.

Kết luận, ta áp dụng các mối quan hệ và thay thế vào công thức tổng hợp để hoàn tất chứng minh.

\[
\overline{BC} \cdot \overline{AD} + \overline{CA} \cdot \overline{BE} + \overline{AB} \cdot \overline{CF} = 0.
\]