Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Gọi D,E lần lượt là trung điểm của AB, AC

Để giải bài toán về tam giác ABC nhọn với các điểm D, E, F đã được xác định, ta sẽ làm từng bước như sau:

### a) Tính độ dài DE khi BC = 12 cm

Đầu tiên, theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
- Độ dài đoạn thẳng DE (đoạn nối hai trung điểm D và E) sẽ bằng nửa độ dài cạnh BC.
- Ta biết rằng \( BC = 12 \) cm.

Vậy:
\[
DE = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ cm}.
\]

### b) Tứ giác DEFB là hình gì?

- Để xác định hình dạng của tứ giác DEFB, ta nhận thấy rằng D và E là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Theo định lý về tứ giác do hai trung điểm tạo thành, đoạn DE song song với cạnh BC.
- Bởi vì F là trung điểm của BC, ta cũng có DF // EF và AE // AD (do D và E là trung điểm).

Vì vậy, tứ giác DEFB là một hình bình hành, cụ thể là hình thang, vì có hai cặp cạnh song song (DE // BC và DF // EF).

### c) Chứng minh tứ giác PQCB là hình thang

- Ta xét hai giao điểm P và Q:
- P là giao điểm của BE và DF.
- Q là giao điểm của EF và CD.

Do đoạn DE là trung bình và song song với BC, ta có:
\[
DE // BC.
\]
Ta cũng có:
- DF // EF (chúng đều là cạnh của hình thang và tứ giác DEFB là hình Bình hành).
- DO đó, PQ (đoạn nối giữa P và Q) cũng sẽ song song với BC.

Vậy, từ đó ta có thể kết luận rằng PQCB là hình thang với hai cạnh song song là PQ và BC.

### d) Chứng minh BC = 3 × BM

Khi kéo dài AP cắt BC tại M, do D và E là trung điểm, ta có thể áp dụng định lý tương tự với các đoạn từ điểm A đến BC. Từ các tỉ số hình học và các định lý liên quan, ta thấy rằng đường cao (AP) chia cạnh BC thành ba phần đều nhau (do các trung điểm chia tam giác trong tỉ lệ):

Đặc biệt:
\[
BC = BM + MC.
\]
Do tất cả những tỉ lệ này, ta có thể khẳng định rằng:
\[
BC = 3 \times BM.
\]
Với M là điểm chia BC thành 3 phần đều, tức là:
\[
BM = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 \text{ cm}.
\]

Vậy yừ vào các tính toán trên, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.