Cho tam giác ABC có AB=AC, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM

### a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM

Ta có:
- Tam giác ABC có AB = AC (theo giả thiết).
- M là trung điểm của BC.

**Chứng minh:**
1. **Cạnh:** AB = AC (theo giả thiết).
2. **Cạnh:** BM = MC (vì M là trung điểm của BC).
3. **Góc:** Góc AMB = góc AMC (cùng một góc ở đỉnh A).

Từ các điều kiện trên, ta có thể sử dụng tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC) để chứng minh:
- Tam giác ABM = tam giác ACM.

### b) Chứng minh AB // DC

Gọi D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA.

**Chứng minh:**
1. Xét tam giác ABM và ACM như đã chứng minh ở câu a), ta có AM là cạnh chung.
2. Xét các góc:
- Góc AMB = góc AMC (cùng một góc).
- Góc MAB = góc MAC (do AB = AC và tam giác này cân).

Vậy: Gọi x = MD. Khi đó:
- MD = MA => Tam giác AMD = tam giác AMB (cạnh MA = MD, góc MAB = góc AMD).

Như vậy: Các cặp góc AMB và MDC đồng, suy ra AB // DC (theo định lý góc đồng vị).

### c) Chứng minh M là trung điểm EF

Xét ME vuông góc với AB (E thuộc AB) và MF vuông góc với DC (F thuộc DC).

**Chứng minh:**
1. Ta có ME vuông góc với AB và MF vuông góc với DC.
2. Do AB // DC (như đã chứng minh ở phần b), thì góc EMF = góc EMD (cùng một góc vuông).
3. Từ đó, ta có tam giác EMF và EMD đều vuông tại E và M.

Áp dụng định lý Pythagore:
- Nếu M là trung điểm của EF, khi đó:

\( ME^2 + EM^2 = MF^2 + MD^2 \)

Vì M nằm trên cả hai đường thẳng vuông góc này, phương trình cho ta thấy khoảng cách từ M đến hai cạnh là bằng nhau.

Do đó, M là trung điểm của EF.

**Kết luận:** Qua ba phần trên, ta đã chứng minh được các kết luận cần thiết cho bài toán.