Chúng ta sẽ đi qua từng phần của bài toán.

### Phần a)
Chứng minh rằng tam giác \( ABM \cong ACM \).

**Chứng minh:**
1. Ta có \( AB = AC \) (do giả thiết).
2. \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên ta có \( BM = MC \).
3. Cạnh \( AM \) chung cho cả hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \).

Áp dụng tiêu chuẩn \( \text{Cạnh - Cạnh - Cạnh} \) (CCM):
- \( AB = AC \)
- \( BM = MC \)
- \( AM = AM \)

Từ đó, ta có:
\[ \triangle ABM \cong \triangle ACM \]

### Phần b)
Chứng minh rằng \( AB \parallel DC \).

**Chứng minh:**
1. Theo giả thiết, ta có \( MD = MA \), Theorem về cạnh đối diện: vì \( D \) được đặt trên tia đối của tia \( MA \), nên các góc \( \angle MAB \) và \( \angle MDC \) sẽ bằng nhau (vì chúng là các góc đối đỉnh).
2. Do \( AM \) là trung điểm, ta có \( \angle MAB = \angle MDC \).
3. Mặt khác, do \( D \) nằm trên tia đối của \( A \) và \( MD = MA \), suy ra tứ giác \( AMDC \) là hình chữ nhật, nên \( AB \parallel DC \).

### Phần c)
Chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của \( EF \).

**Chứng minh:**
1. Ta có \( ME \perp AB \) và \( MF \perp DC \).
2. Lập các tam giác vuông: Gọi \( E \) là điểm vuông góc từ \( M \) xuống \( AB \) và \( F \) là điểm vuông góc từ \( M \) xuống \( DC \).
3. Do \( AB \parallel DC \) và \( M \) có khoảng cách bằng nhau từ \( E \) và \( F \), nên \( ME = MF \).

Vì vậy, \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EF \).

Chúng ta đã chứng minh xong các phần a, b, và c của bài toán.