Để giải bài toán \( (x+y)^3 + 6xy + 3y^2 + y = 8x^3 + 9x^2 + 1 \) với \( x, y \) là các số nguyên dương, chúng ta sẽ phân tích và biến đổi phương trình.

Trước tiên, chúng ta cần mở rộng biểu thức bên trái:

\[
(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
\]

Thay thế vào phương trình ban đầu:

\[
x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 6xy + 3y^2 + y = 8x^3 + 9x^2 + 1
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía để khai thác phương trình:

\[
x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 6xy + 3y^2 + y - 8x^3 - 9x^2 - 1 = 0
\]

\[
-7x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 6xy + 3y^2 + y - 1 = 0
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên dương cho \( x \) và \( y \).

**Bước thử nghiệm:**

Chúng ta sẽ thử một số giá trị nhỏ cho \( x \) và \( y \).

1. **Nếu \( x = 1 \):**
- Phương trình trở thành:
\[
(1+y)^3 + 6(1)y + 3y^2 + y = 8(1) + 9(1) + 1
\]
\[
(1+y)^3 + 6y + 3y^2 + y = 18
\]

Tính \( (1+y)^3 \):
\[
1 + 3y + 3y^2 + y^3 + 6y + 3y^2 + y = 18
\]
\[
y^3 + 4y^2 + 10y + 1 = 18
\]
\[
y^3 + 4y^2 + 10y - 17 = 0
\]

Thử các giá trị cho \( y \):
- Khi \( y = 1 \):
\[
1 + 4 + 10 - 17 = -2 \quad (\text{sai})
\]
- Khi \( y = 2 \):
\[
8 + 16 + 20 - 17 = 27 \quad (\text{sai})
\]
- Khi \( y = 3 \):
\[
27 + 36 + 30 - 17 = 76 \quad (\text{sai})
\]
- Khi \( y = 4 \):
\[
64 + 64 + 40 - 17 = 151 \quad (\text{sai})
\]

2. **Nếu \( x = 2 \):**
- Phương trình trở thành:
\[
(2+y)^3 + 12y + 3y^2 + y = 8(8) + 36 + 1
\]
\[
(2+y)^3 + 12y + 3y^2 + y = 73
\]

Tính \( (2+y)^3 \):
- Thử các giá trị cho \( y \):

Khi \( y = 1 \):
\[
(3)^3 + 12 \cdot 1 + 3 + 1 = 27 + 12 + 3 + 1 = 43 \quad (\text{sai})
\]

Khi \( y = 2 \):
\[
(4)^3 + 12 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 2 = 64 + 24 + 12 + 2 = 102 \quad (\text{sai})
\]

Khi \( y = 3 \):
\[
(5)^3 + 36 + 27 + 3 = 125 + 36 + 27 + 3 = 191 \quad (\text{sai})
\]

Và cứ tiếp tục thử như vậy...

Cuối cùng, sau khi thử nghiệm với các cặp giá trị \( (x, y) \):
- Một trong số các nghiệm có thể đúng là \( (1, 1) \).

Kiểm tra:
\[
(1 + 1)^3 + 6 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 + 1 = 8 + 6 + 3 + 1 = 18
\]
\[
8(1)^3 + 9(1)^2 + 1 = 8 + 9 + 1 = 18
\]

Kết quả chính xác là:
\[
(x, y) = (1, 1)
\]