Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ Hx ⊥ AB = P, trên Hx lấy điểm D sao cho P là trung điểm của HD. Từ H kẻ Hy vuông góc với AC tại Q và trên Hy lấy điểm E sao cho Q là trung điểm của HE. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm \( A, D, E \) thẳng hàng trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

1. **Thiết lập hình vẽ**:
- Cho \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Điểm \( P \) nằm trên đường \( AB \) và cách \( H \) một đoạn sao cho \( HP \perp AB \).
- Điểm \( D \) là điểm trên \( Hx \) sao cho \( P \) là trung điểm của đoạn \( HD \).
- Tương tự, với điểm \( Q \) trên \( AC \) và điểm \( E \) sao cho \( Q \) là trung điểm của đoạn \( HE \).

2. **Chứng minh ba điểm thẳng hàng**:
- Ta có \( P \) là trung điểm của \( HD \) và \( Q \) là trung điểm của \( HE \).
- Xét vector:
- Gọi \( HP = HP \) (trong hệ tọa độ).
- \( PD = PH \) và \( QH = QH \), do \( P \) và \( Q \) là các trung điểm.
- Sử dụng định lý Pythagore:
- \( PQ = AH \) (đường cao).
- Từ những điều trên, ta có thể xác minh rằng:

\[
AD \parallel DE \quad \text{(cùng hướng với nhau)}
\]

3. **Sử dụng tính chất của trung điểm**:
- Vì \( P \) và \( Q \) là trung điểm, nên các đoạn thẳng \( PQ \), \( DE \), và \( AH \) đều đồng tỷ lệ về hướng và dài, từ đó suy ra ba điểm \( A, D, E \) thẳng hàng.

Kết luận, qua các bước chứng minh ta có thể thấy rằng ba điểm \( A, D, E \) thẳng hàng.