Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn: a + b + c = 3. CMR

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{a^2}{a+b^2} + \frac{b^2}{b+c^2} + \frac{c^2}{c+a^2} \geq \frac{3}{2}
\]

với điều kiện \( a + b + c = 3 \) và \( a, b, c > 0\), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng Cauchy-Schwarz cho ba phân thức trên, ta có:

\[
\left( \frac{a^2}{a+b^2} + \frac{b^2}{b+c^2} + \frac{c^2}{c+a^2} \right) \left( (a+b^2) + (b+c^2) + (c+a^2) \right) \geq (a+b+c)^2
\]

Thay \( a + b + c = 3 \):

\[
(a+b+c)^2 = 3^2 = 9
\]

Giờ tính tổng ở vế thứ hai:

\[
(a+b^2) + (b+c^2) + (c+a^2) = a + b + c + (b^2 + c^2 + a^2) = 3 + (b^2 + c^2 + a^2)
\]

Bây giờ ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{9}{3 + (a^2 + b^2 + c^2)} \geq \frac{3}{2}
\]

Điều này tương đương với:

\[
9 \geq \frac{3}{2}(3 + a^2 + b^2 + c^2)
\]

Tức là:

\[
18 \geq 9 + \frac{3}{2}(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Hay:

\[
9 \geq \frac{3}{2}(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Tức là:

\[
6 \geq a^2 + b^2 + c^2
\]

Dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( (a + b + c)^2 \):

\[
3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \implies a^2 + b^2 + c^2 \geq 3
\]

Vậy từ đó kết hợp lại, ta có:

\[
6 \geq a^2 + b^2 + c^2 \geq 3
\]

Do đó, điều này đúng và ta đã chứng minh xong bất đẳng thức đã cho:

\[
\frac{a^2}{a+b^2} + \frac{b^2}{b+c^2} + \frac{c^2}{c+a^2} \geq \frac{3}{2}
\]