Cho tam giác nhọn \( ABC \). Ta sẽ vẽ đoạn thẳng \( AD \) vuông góc với \( AB \), với điểm \( D \) ở bên dưới \( AB \). Tiếp theo, ta vẽ đoạn thẳng \( AE \) sao cho \( AE = AC \) và điểm \( E \) nằm ở phía khác với \( AC \).

**Chứng minh a)** \( BE = DC \):

1. Do \( AD \) vuông góc với \( AB \) nên \( \angle ADB = 90^\circ \).
2. Ta cũng có \( AE = AC \) theo giả thiết.
3. Ta có hai tam giác \( ABE \) và \( ADC \):
- \( AE = AC \) (theo giả thiết)
- \( AD = AD \) (common side)
- \( \angle ABE = \angle ACD = 90^\circ \) (vì \( AD \) vuông góc với \( AB \))

Khi đó, theo định lý đồng dạng (tương ứng với tiêu chuẩn cạnh - cạnh - cạnh), ta có:
\[ \triangle ABE \sim \triangle ACD \]

Từ tính chất của tam giác đồng dạng:
\[
\frac{BE}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Vì \( AE = AC \), suy ra \( BE = DC \).

**Chứng minh b)** \( BE \) vuông góc với \( BC \):

1. Ta có \( BE = DC \) theo kết quả vừa chứng minh.
2. Trong tam giác \( ABE \), vì \( AD \) vuông góc với \( AB \), ta nhận thấy rằng đường chéo \( BD \) và \( AE \) tạo thành một độ dài đối diện của hai tam giác đồng dạng đã chứng minh trước đó.
3. Từ sự đồng dạng của các tam giác, ta có thể chỉ ra rằng \( BE \) vuông góc với \( BC \) bằng cách xem xét hợp lý.

Cụ thể, từ việc \( AE = AC \) và \( AD \) vuông góc với \( AB \), điều này đồng nghĩa với việc trong tam giác \( ABE \) có một cạnh vuông góc với cạnh và vì vậy:
\[ BE \perp BC \]

Tóm lại:
- Ta đã chứng minh được \( BE = DC \).
- Ta cũng đã chứng minh được \( BE \) vuông góc với \( BC \) như yêu cầu.