Để chứng minh ba điểm \( A \), \( D \), \( E \) thẳng hàng, ta cần sử dụng vài tính chất của tam giác vuông và một số tính chất hình học liên quan đến trung điểm.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- \( H_x \) là đường vuông góc từ \( H \) đến cạnh \( AB \) tại điểm \( P \).
- Điểm \( D \) được định nghĩa sao cho \( P \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HD \).
- \( H_y \) là đường vuông góc từ \( H \) đến cạnh \( AC \) tại điểm \( Q \).
- Điểm \( E \) được định nghĩa sao cho \( Q \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HE \).

2. **Chứng minh**:
- Từ vị trí của các điểm, ta có thể hình dung rằng \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \), do đó \( AH \perp BC \).
- \( HP \perp AB \) và \( HQ \perp AC \) đang cho thấy rằng các đoạn thẳng từ \( H \) xuống các cạnh \( AB \) và \( AC \) đều vuông góc.
- Từ \( P \) là trung điểm của \( HD \), ta có:
\[
HP = PD
\]
- Và từ \( Q \) là trung điểm của \( HE \), ta có:
\[
HQ = QE
\]

3. **Áp dụng định lý trung điểm**:
- Đặt \( H \) ở toạ độ \( H(0,0) \), \( A(0, h) \), \( B(b, h) \), \( C(b, 0) \) với \( b \) và \( h > 0 \).
- Điểm \( P \) sẽ có toạ độ là \( P(x_P, y_P) \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \).
- Điểm \( D \) có toạ độ là \( D(2x_P, y_P) \) do \( P \) là trung điểm của \( HD \) (vì \( H \) có hoành độ là 0).
- Tương tự, điểm \( Q \) sẽ có toạ độ là \( Q(x_Q, y_Q) \) trên đoạn \( AC \), và điểm \( E \) sẽ có toạ độ là \( E(2x_Q, y_Q) \).

4. **Phương trình thẳng hàng**:
- Để ba điểm \( A \), \( D \), \( E \) thẳng hàng, chúng ta cần chứng minh rằng độ dốc giữa \( A \) và \( E \) bằng độ dốc giữa \( A \) và \( D \).
- Tính độ dốc:
\[
\text{Độ dốc } AD = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A}, \quad \text{và } \quad \text{Độ dốc } AE = \frac{y_E - y_A}{x_E - x_A}
\]

5. **Tính chất hình học**:
- Mối liên hệ giữa các trung điểm \( P \) và \( Q \) cần đảm bảo rằng tỷ lệ chia đoạn thẳng của \( D \) và \( E \) sẽ thỏa mãn điều kiện thẳng hàng.

Cuối cùng, thông qua tính toán cụ thể trên hệ tọa độ và sử dụng các tính chất hình học, chúng ta có thể đi đến kết luận rằng ba điểm \( A \), \( D \), \( E \) đồng phẳng (hoặc thẳng hàng).