Cho tam giác ABC thoả mãn: AB.AC = 48 và (sin B + sin C)/(cos B + cos C) = sin A

Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu từ các điều kiện đã cho và làm rõ hơn về hình học của tam giác \( ABC \).

1. **Điều kiện 1: \( AB \cdot AC = 48 \)**.
- Gọi \( AB = c \) và \( AC = b \). Vậy ta có \( bc = 48 \).

2. **Điều kiện 2: \( \frac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C} = \sin A \)**.
- Áp dụng định nghĩa sin và cos từ các cạnh của tam giác, ta sẽ tính \( \sin A \), \( \sin B \), và \( \sin C \) theo cạnh và góc.

3. **Diện tích tam giác**:
- Diện tích \( S = \frac{1}{2}bc \sin A \).
- Từ điều kiện đầu tiên, ta có \( S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \sin A = 24 \sin A \).

4. **Điều kiện tìm điểm M và G**:
- \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC\).
- Ta cần tính diện tích tam giác \( BMG \).

5. **Cách tính diện tích tam giác BMG**:
- Ta sẽ sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[
S_{BMG} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h
\]
- Với \( h \) là chiều cao từ \( G \) hạ xuống cạnh \( BM \).

6. **Tính toán**:
- Trung điểm \( M \) có thể tính được, nếu biết kích thước các cạnh của tam giác \( ABC \). Vị trí của \( G \) (trọng tâm) là điểm chia \( AM \) theo tỉ lệ \( 2:1 \).
- Diện tích tam giác \( BMG \) có thể được tính bằng công thức:
\[
S_{BMG} = \frac{1}{3} S_{BMC}
\]

Trong đó \( S_{BMC} = \frac{1}{2}bc \cdot \sin A = 24 \sin A \). Vậy \( S_{BMC} = 48 \sin A \).

Do đó,
\[
S_{BMG} = \frac{1}{3} S_{BMC} = \frac{1}{3} (24 \sin A) = 8 \sin A
\]

Từ các điều kiện, tối ưu hóa \( S_{BMG} \) sẽ cho chúng ta một kết quả chính xác theo các yếu tố nhất định trong tam giác cụ thể.

Kết luận, tìm một yêu cầu cụ thể trong phần tính toán, ta có thể tìm thấy một giá trị rõ ràng cho diện tích tam giác \( BMG \) sẽ dựa trên các yếu tố cơ bản mà ta đã thiết lập. Diện tích của tam giác BMG sẽ bằng 8 đơn vị cho mỗi sine khác nhau.

**Kết luận:** Diện tích tam giác \( BMG \) là \( 8 \).