Để giải bài toán này, ta sử dụng tính chất của đường phân giác và định lý về tỉ số giữa các đoạn trên đường phân giác.

Theo định lý hai đoạn phân giác trong tam giác:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Trong trường hợp này, ta có:
- \(BD = 7.5 \, \text{cm}\)
- \(CD = 5 \, \text{cm}\)

Tính tỉ số:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{7.5}{5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}
\]

Gọi \(AB = 3k\) và \(AC = 2k\) cho một số \(k\) nào đó.

Vì \(AB + AC\) là tổng độ dài:
\[
AB + AC = 3k + 2k = 5k
\]

Theo đề bài, nếu \(AC = 10 \, \text{cm}\), ta có:
\[
2k = 10 \Rightarrow k = 5
\]

Vậy:
\[
AB = 3k = 3 \times 5 = 15 \, \text{cm}
\]

**Kết luận:**
- \(AB = 15 \, \text{cm}\)
- \(AC = 10 \, \text{cm}\)
- \(BD = 7.5 \, \text{cm}\)
- \(CD = 5 \, \text{cm}\)