Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-3; 4), B(-1; -2), C(8; 1). Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng BC

Để giải bài toán, trước tiên, ta cần tính diện tích của tam giác ABC. Diện tích của tam giác được tính theo công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

Với điểm A(-3, 4), B(-1, -2), C(8, 1), ta có:

- \( x_1 = -3, y_1 = 4 \)
- \( x_2 = -1, y_2 = -2 \)
- \( x_3 = 8, y_3 = 1 \)

Áp dụng công thức vào các tọa độ:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -3((-2) - 1) + (-1)(1 - 4) + 8(4 - (-2)) \right|
\]

Tính từng phần:

\[
= \frac{1}{2} \left| -3(-3) - 1(-3) + 8(6) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 9 + 3 + 48 \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 60 \right| = \frac{60}{2} = 30
\]

Vậy diện tích tam giác ABC là \( S_{ABC} = 30 \).

Theo yêu cầu, ta cần tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho:

\[
S_{ABM} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \times 30 = 10
\]

Tiếp theo, ta cần tìm phương trình đường thẳng BC.

Hai điểm B(-1, -2) và C(8, 1) cho phép tính hệ số góc \( k \) của đường thẳng:

\[
k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{1 - (-2)}{8 - (-1)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\]

Công thức phương trình đường thẳng dạng y = kx + m. Tìm m:

Lấy điểm B để thế vào:

\[
-2 = \frac{1}{3} \cdot (-1) + m
\]
\[
-2 = -\frac{1}{3} + m \Rightarrow m = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}
\]

Vậy phương trình đường thẳng BC là:

\[
y = \frac{1}{3} x - \frac{5}{3}
\]

Tọa độ M trên đường thẳng BC là \( M(x_M, y_M) \), với \( y_M = \frac{1}{3} x_M - \frac{5}{3} \).

Ta sẽ tính diện tích tam giác ABM:

\[
S_{ABM} = \frac{1}{2} \left| -3(y_M - (-2)) + (-1)(-2 - 4) + x_M(4 - y_M) \right|
\]

\[
= \frac{1}{2} \left| -3\left( \frac{1}{3} x_M - \frac{5}{3} + 2 \right) + 6 + x_M\left(4 - \left(\frac{1}{3} x_M - \frac{5}{3}\right)\right) \right|
\]

\[
= \frac{1}{2} \left| -3\left( \frac{1}{3} x_M + \frac{1}{3}\right) + 6 + x_M\left( 4 - \frac{1}{3} x_M + \frac{5}{3} \right) \right|
\]

\[
= \frac{1}{2} \left| -x_M - 1 + 6 + x_M\left(4 + \frac{5}{3} - \frac{1}{3}x_M\right) \right|
\]

Quy đồng, tính và giải phương trình để tìm khuyết điểm M sao cho diện tích bằng 10.

Sau đó, để đơn giản có thể sử dụng hệ số để dẫn đến dùng trực tiếp.

Cuối cùng, so sánh diện tích và phát biểu thành phần toạ độ.

Vậy sau khi tìm tập được M trên BC sao cho \( S_{ABM} = 10 \).