Chúng ta có thể giải bài toán từng phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác IKBC là hình thang:

1. **Khái niệm:** Tứ giác IKBC là hình thang nếu có hai cạnh đối diện song song.
2. **Các điểm đã cho:**
- \( I \) là trung điểm của \( BH \).
- \( K \) là trung điểm của \( CH \).
- \( B \) và \( C \) là các đỉnh của hình chữ nhật \( ABCD \).
3. **Tính toán:**
- Trong hình chữ nhật, các cạnh \( AB \) và \( CD \) song song (cạnh trên và dưới đều song song).
- Cạnh \( IK \) (của tứ giác IKBC) là trung bình của hai đoạn \( BH \) và \( CH \), do đó cả hai đoạn này sẽ có độ dốc giống nhau.
4. **Kết luận:** Do đó, \( IK \) // \( BC \), suy ra tứ giác IKBC là hình thang.

### b) Chứng minh tứ giác IKDM là hình bình hành:

1. **Khái niệm:** Tứ giác IKDM là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
2. **Các điểm:**
- \( I \), \( K \) như trên.
- \( M \) là trung điểm của \( AD \).
3. **Tính toán:**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BH \) và \( K \) là trung điểm của \( CH \), nên có thể viết:
- \( IB = IH \) và \( KC = KH \) (theo định nghĩa trung điểm).
- \( AD \) là cạnh của hình chữ nhật, nên \( AM = MD \) (vì \( M \) là trung điểm).
4. **Kết luận:** Do đó, \( IK = MD \) và \( IM = KD \), suy ra tứ giác IKDM là hình bình hành.

Hai phần chứng minh trên cho thấy tứ giác IKBC là hình thang và IKDM là hình bình hành.