Cho (O; R) dây BC. Kè đường kính DA vuông góc với BC tại H (H thuộc đoạn OA). Trên cung nhỏ DN lấy điểm E. Tia DE và BC cắt nhau tại P. C/m: cung AB = cung AC

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số định lý về hình tròn và tính chất của góc trong hình tròn.

### a) Chứng minh: cung AB = cung AC

- **Giải thích:** Đường kính DA sẽ chia đường tròn thành hai nửa. Vì DE là tia xuất phát từ điểm E trên cung nhỏ DN, mà A và C cũng nằm trên cung nhỏ này, do đó góc DAB và góc DAC đều có chung đỉnh D và cùng chắn trên cung AC. Từ đó ta có: \( \angle DAB = \angle DAC \).

- **Kết luận:** Theo định lý về cung, nếu \( \angle DAB = \angle DAC \) thì \( cung AB = cung AC \).

### b) Chứng minh: DBE = DAE

- **Lý thuyết:** Xét tam giác DBE và DAE, ta nhận thấy rằng chúng có cùng cạnh DA (cạnh chung) và cùng đáy DE.

- **Sử dụng nguyên lý góc:** \( \angle DBE \) và \( \angle DAE \) cũng là góc được chắn bởi các cung giống nhau trên đường tròn (đường tròn từ D qua B, A). Do đó, ta có: \( DBE = DAE \).

### c) Gọi F là giao của CB và AE. Chứng minh: PD = PE, PH

- **Giải thích:** Từ việc thiết lập điểm F và tính chất của hình tròn, các đoạn thẳng hiện tại (PF, PE, PH) sẽ có mối liên hệ tương ứng với các cạnh trên tam giác DBE và DAE.

### d) Chứng minh: EF là tỉ phân giác của BEC và \( \frac{CF}{BF} = \frac{CP}{BP} \)

- **Áp dụng định lý về tỉ phân giác:** Từ các đẳng thức đã chứng minh ở trên, ta có EF chính là tỉ phân giác của góc BEC. Điều này có thể rút ra từ tính chất góc và các đoạn thẳng liên quan.

- **Kết luận:** Từ các tỷ lệ trên, ta dễ dàng suy ra rằng \( \frac{CF}{BF} = \frac{CP}{BP} \) do EF chia góc BEC tỷ lệ theo nhau.

Qua những bước giải thích và chứng minh trên, bạn sẽ xác định được các đẳng thức theo các yêu cầu trong bài toán. Nếu cần thêm chi tiết hoặc ví dụ cụ thể, hãy cho tôi biết!