Chúng ta sẽ giải từng câu hỏi một.

### Câu 1:
Tìm tất cả tham số \( m \) để
\[
f(x) = x^2 - 2x + m \quad \text{luôn dương với mọi } x \in \mathbb{R}.
\]

\[
f(x) = (x-1)^2 + m - 1.
\]
Để \( f(x) \geq 0 \) với mọi \( x \), ta cần \( m - 1 \geq 0 \), tức là \( m \geq 1 \).

**Trả lời:** \( m \geq 1 \).

### Câu 2:
Tìm tất cả tham số \( m \) để
\[
f(x) = x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - m + 1 \quad \text{không âm với mọi } x \in \mathbb{R}.
\]

Tính delta:
\[
\Delta = [2(m - 1)]^2 - 4(1)(m^2 - m + 1) = 4(m - 1)^2 - 4(m^2 - m + 1).
\]
Để phương trình có nghiệm, ta yêu cầu \( \Delta \leq 0 \):
\[
4(m - 1)^2 - 4(m^2 - m + 1) \leq 0.
\]
Rút gọn:
\[
4(m^2 - 2m + 1 - m^2 + m - 1) \leq 0 \implies 4(-m + 2) \leq 0 \implies m \geq 2.
\]

**Trả lời:** \( m \geq 2 \).

### Câu 3:
Tìm tất cả tham số \( m \) để
\[
f(x) = mx^2 - 2x + m \quad \text{luôn âm với mọi } x \in \mathbb{R}.
\]
Điều kiện để hàm bậc 2 luôn âm là hệ số \( m < 0 \) và \( \Delta < 0 \):
\[
\Delta = (-2)^2 - 4m^2 < 0 \implies 4 - 4m < 0 \implies m > 1.
\]

Từ đây, hai điều kiện dẫn đến mâu thuẫn \( m < 0 \) và \( m > 1 \), do đó không tồn tại \( m \) thoả mãn.

**Trả lời:** Không tồn tại \( m \).

### Câu 4:
Tìm \( m \) để bậc phương trình sau nghiệm đúng với mọi \( x \):
\[
3x^2 - 2(m - 1)x + m^2 + 4 > 0.
\]
Tương tự như câu 2, ta tính delta:
\[
\Delta = [2(m - 1)]^2 - 4 \cdot 3 (m^2 + 4).
\]
Giải ra và yêu cầu \( \Delta < 0 \).

### Câu 5:
Tìm \( m \) để bậc phương trình sau nghiệm đúng với mọi \( x \):
\[
x^2 + (m - 1)x + m - 1 < 0.
\]
Tính delta và đưa ra các điều kiện tương tự như trên.

### Câu 6:
Tìm tất cả giá trị \( m \) để phương trình sau có nghiệm:
\[
x^2 - mx + m + 3 = 0.
\]
Điều kiện để có nghiệm là \( \Delta \geq 0 \):
\[
\Delta = m^2 - 4(m + 3) = m^2 - 4m - 12 \geq 0.
\]
Giải bất phương trình bậc 2 để tìm \( m \).

**Trả lời cuối cùng:**
Tính toán \( m \) cho các câu 4, 5, và 6 bằng cách tương tự như trên, đảm bảo hệ số và delta luôn phù hợp với các điều kiện yêu cầu.