Để chứng minh \( S = abc + bca + cab \) là một số chính phương, trước tiên chúng ta hãy kiểm tra các trường hợp cụ thể của các giá trị \( a \), \( b \), và \( c \).

Giả sử \( a, b, c \) là các chữ số của một số tự nhiên. Dễ dàng nhận thấy rằng \( S \) có thể được viết lại như sau:

\[
S = abc + bca + cab = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
\]

Ghép các hệ số lại:

\[
S = (100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c)
\]
\[
= (111a + 111b + 111c) = 111(a + b + c)
\]

Như vậy, \( S = 111(a + b + c) \).

Chúng ta sẽ xem xét điều kiện \( S \) là số chính phương. Vì \( 111 = 3 \times 37 \), nên điều kiện cho \( S \) là số chính phương chính là \( (a + b + c) \) phải là một số chính phương chia hết cho 37. Kết hợp hai điều này cùng với tính chính phương, ta thấy rằng \( S \) có thể là một số chính phương nếu \( a + b + c = k^2 \) cho một số nguyên \( k \).

Bây giờ, ta sẽ xem xét các trường hợp cụ thể với các giá trị của \( a, b, c \) để kiểm tra tính chính phương của \( S \).

1. Nếu \( a = b = c = 1 \):
\[
S = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 = 3
\]

2. Nếu \( a = 1, b = 2, c = 2 \):
\[
S = 1 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 + 4 + 4 = 12
\]

Ngược lại với các giá trị nhiều hơn, bạn có thể nhận thấy rằng với những giá trị lớn khác nhau của \( a, b, c \), tổng sẽ luôn có thể được thể hiện dưới dạng số chính phương hoặc tổng nhiều số chính phương khác nhau. Điều này cho thấy rằng \( S \) có thể trở về những cấu trúc chính phương thông qua phép tính tích lũy của nó.

Mặc dù không chứng minh chính xác cho mọi giá trị của \( a, b, c \), việc tính toán cụ thể cho thấy rằng chúng có thể tạo thành nhiều số chính phương.

Tóm lại, việc xây dựng giá trị cho \( a, b, c \) sẽ dẫn đến nhiều giá trị khác nhau cho \( S = 111(a + b + c) \), mà tổng có thể điều chỉnh hoặc theo dõi chính xác để cho \( S \) là một số chính phương.