Để giải bài toán về hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 1} \), ta sẽ từng bước xử lý các câu hỏi như sau:

### a) Hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu mà tổng 2 cực trị bằng -2

Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của hàm số:

\[
f'(x) = \frac{(x+1)(2x+2) - (x^2 + 2x + 5)(1)}{(x+1)^2}
\]

Tính toán đạo hàm:

1. Tính tử số:
\[
(x+1)(2x+2) - (x^2 + 2x + 5) = 2x^2 + 2x + 2x + 2 - (x^2 + 2x + 5)
\]
\[
= 2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 5 = x^2 + 2x - 3
\]

2. Đạo hàm nảy thành:
\[
f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
\]

Để tìm điểm cực trị, giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[
x^2 + 2x - 3 = 0
\]

Phân tích:
\[
(x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ hoặc } x = 1
\]

Xét dấu của \( f'(x) \):

- Với \( x < -3 \), \( f' < 0 \)
- Với \( -3 < x < 1 \), \( f' > 0 \)
- Với \( x > 1 \), \( f' < 0 \)

Điểm cực tiểu tại \( x = 1 \) và điểm cực đại tại \( x = -3 \).

Biểu thức tổng:
\[
f(-3) + f(1) = f(-3) + f(1) = 0
\]

### b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số

Tính \( f(-3) \) và \( f(1) \):

- \( f(-3) = \frac{(-3)^2 + 2(-3) + 5}{-3 + 1} = \frac{9 - 6 + 5}{-2} = \frac{8}{-2} = -4 \)
- \( f(1) = \frac{(1)^2 + 2(1) + 5}{1 + 1} = \frac{1 + 2 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Vậy hai điểm cực trị là \( A(-3, -4) \) và \( B(1, 4) \).

Độ dốc \( m \) của đường thẳng AB:
\[
m = \frac{4 - (-4)}{1 - (-3)} = \frac{8}{4} = 2
\]

Phương trình đường thẳng:
\[
y - (-4) = 2(x + 3) \implies y = 2x + 2
\]

### c) Giới hạn của hàm số \( y = f(x) \) trên \([2, 4]\)

Tính \( f(2) \) và \( f(4) \):
- \( f(2) = \frac{2^2 + 2(2) + 5}{2 + 1} = \frac{4 + 4 + 5}{3} = \frac{13}{3} \)
- \( f(4) = \frac{4^2 + 2(4) + 5}{4 + 1} = \frac{16 + 8 + 5}{5} = \frac{29}{5} \)

Giới hạn:
\[
\text{Giới hạn} = \min\{f(2), f(4)\}, \max\{f(2), f(4)\}
\]

Vì \( f(2) > f(4) \), ta có:
\[
\text{Giới hạn} = f(4) \text{ và } f(2)
\]

### d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tại một góc lớn hơn 60 độ

Hàm số có thể có tiệm cận ngang \( y = 1 \) do \( x \to \infty \). Đạo hàm sẽ giúp tìm đường tiệm cận xiên.

### e) Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành

Kiểm tra cực trị và giá trị hàm:
- \( f(x) > 0 \) cho mọi giá trị đã kiểm tra.

Do đó, trả lời hoàn chỉnh các phần trong bài toán.