Để giải bài toán, đầu tiên chúng ta cần tính cạnh BC của tam giác vuông ABC.

### Bước 1: Tính BC
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay bán kính AB và AC:

\[
BC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225
\]
\[
BC = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

### Bước 2: Tính tỉ lệ BD và CD
Từ tam giác vuông tại A, ta biết rằng D là điểm cắt của BC với đường thẳng từ A.

Tỷ lệ giữa các cạnh trong tam giác vuông ADB và ADC là:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}
\]

Thay số vào:

\[
\frac{12}{9} = \frac{BD}{CD}
\]

Đặt \( BD = x \) và \( CD = y \). Khi đó:

\[
\frac{x}{y} = \frac{12}{9}
\]

Và vì \( BD + CD = BC \), có:

\[
x + y = 15
\]

### Bước 3: Giải phương trình
Ta có hệ phương trình:

1. \( \frac{x}{y} = \frac{12}{9} \)
2. \( x + y = 15 \)

Từ phương trình 1, ta có:

\[
9x = 12y \quad \Rightarrow \quad 3x = 4y \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{3}y
\]

Thay vào phương trình 2:

\[
\frac{4}{3}y + y = 15
\]

Gộp lại:

\[
\frac{4y + 3y}{3} = 15 \quad \Rightarrow \quad \frac{7y}{3} = 15 \quad \Rightarrow \quad 7y = 45 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{45}{7} \approx 6.43 \text{ cm}
\]

Sau đó, tính \( x \):

\[
x = 15 - y = 15 - \frac{45}{7} = \frac{105 - 45}{7} = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ cm}
\]

### Kết quả
- \( BD \approx 8.57 \) cm
- \( CD \approx 6.43 \) cm