Để tìm số tự nhiên có 3 chữ số thoả mãn điều kiện chia nó cho 17 và 25 có số dư lần lượt là 8 và 16, ta có thể biểu diễn bài toán bằng hai phương trình đồng dư.

Gọi số cần tìm là \( x \). Ta có:

1. \( x \equiv 8 \mod{17} \)
2. \( x \equiv 16 \mod{25} \)

### Bước 1: Giải hệ phương trình đồng dư

Ta sẽ giải phương trình thứ nhất trước.
Từ phương trình \( x \equiv 8 \mod{17} \), ta có:
\[
x = 17k + 8 \text{ với k là số nguyên}
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình thứ hai

Thay giá trị của \( x \) từ phương trình đầu tiên vào phương trình thứ hai:
\[
17k + 8 \equiv 16 \mod{25}
\]
Cách giải sẽ là:
\[
17k \equiv 16 - 8 \mod{25} \implies 17k \equiv 8 \mod{25}
\]

### Bước 3: Tìm nghịch đảo của 17 theo mô-đun 25

Để giải phương trình trên, ta cần tìm nghịch đảo của \( 17 \) mod \( 25 \). Sử dụng phương pháp mở rộng Euclid, ta có:

\[
25 = 1 \cdot 17 + 8 \\
17 = 2 \cdot 8 + 1 \\
8 = 8 \cdot 1 + 0
\]
Từ đó, ta có:
\[
1 = 17 - 2 \cdot 8 \\
1 = 17 - 2 \cdot (25 - 1 \cdot 17) \\
1 = 3 \cdot 17 - 2 \cdot 25
\]

Vậy, \( 3 \) là nghịch đảo của \( 17 \) mod \( 25 \). Giải phương trình \( 17k \equiv 8 \mod{25} \):
\[
k \equiv 3 \cdot 8 \mod{25} \equiv 24 \mod{25}
\]
Vậy:
\[
k = 25m + 24 \text{ với m là số nguyên}
\]

### Bước 4: Thay k vào x

Thay k vào \( x = 17k + 8 \):
\[
x = 17(25m + 24) + 8 \\
x = 425m + 408 + 8 \\
x = 425m + 416
\]

### Bước 5: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số

Ta cần \( x \) có 3 chữ số:
\[
100 \leq 425m + 416 < 1000
\]
Giải bất phương trình này:
1. \( 425m + 416 \geq 100 \):
\[
425m \geq 100 - 416 \\
425m \geq -316 \\
m \geq 0 \text{ (vì m là số nguyên)}
\]

2. \( 425m + 416 < 1000 \):
\[
425m < 1000 - 416 \\
425m < 584 \\
m < \frac{584}{425} \approx 1.375 \implies m \leq 1
\]

### Bước 6: Xác định các giá trị của m

Vì \( m \) là số nguyên và từ \( 0 \leq m \leq 1 \), ta có thể có các giá trị:
- Nếu \( m = 0 \): \( x = 416 \)
- Nếu \( m = 1 \): \( x = 841 \)

### Kết quả

Các số tự nhiên có 3 chữ số thoả mãn điều kiện là \( 416 \) và \( 841 \).