Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: xy+x+y=4; yz+y+z=29; zx+z+x=5

Để tìm các số nguyên \( x, y, z \) thoả mãn các phương trình sau:

1. \( xy + x + y = 4 \)
2. \( yz + y + z = 29 \)
3. \( zx + z + x = 5 \)

Chúng ta có thể biến đổi các phương trình này.

### Bước 1: Biến đổi phương trình

Phương trình đầu tiên có thể được biến đổi thành:

\[
xy + x + y + 1 = 5 \implies (x+1)(y+1) = 5
\]

Phương trình thứ hai có thể biến đổi thành:

\[
yz + y + z + 1 = 30 \implies (y+1)(z+1) = 30
\]

Phương trình thứ ba biến đổi thành:

\[
zx + z + x + 1 = 6 \implies (z+1)(x+1) = 6
\]

### Bước 2: Tìm các giá trị

Bây giờ ta cần tìm giá trị cho các cặp \((x+1, y+1)\), \((y+1, z+1)\), và \((z+1, x+1)\):

1. Từ \( (x+1)(y+1) = 5 \), các cặp có thể là:
- \( (1, 5) \)
- \( (5, 1) \)
- \( (1, -5) \)
- \( (-5, 1) \)
- \( (5, -1) \)
- \( (-1, 5) \)

2. Từ \( (y+1)(z+1) = 30 \), các cặp có thể là:
- \( (1, 30) \)
- \( (30, 1) \)
- \( (2, 15) \)
- \( (15, 2) \)
- \( (3, 10) \)
- \( (10, 3) \)
- \( (5, 6) \)
- \( (6, 5) \)
- Các cặp số âm tương tự.

3. Từ \( (z+1)(x+1) = 6 \), các cặp có thể là:
- \( (1, 6) \)
- \( (6, 1) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (3, 2) \)
- Các cặp số âm tương tự.

### Bước 3: Giải các hệ phương trình

Chúng ta có các giá trị từ các phương trình trên. Ta có thể thử với các giá trị khả thi từ mỗi phương trình.

#### Giả sử:
1. \( x+1 = 1 \) và \( y+1 = 5 \) thì: \( x = 0 \), \( y = 4 \).
2. Từ \( (y+1)(z+1) = 30 \):
- \( (4+1)(z+1) = 30 \implies 5(z+1) = 30 \implies z + 1 = 6 \implies z = 5 \).
3. Kiểm tra với phương trình thứ ba:
- \( (z+1)(x+1) = 6 \implies (5+1)(0+1) = 6 \implies 6 \cdot 1 = 6 \).

Thỏa mãn!

Vậy một bộ giá trị là \( (x, y, z) = (0, 4, 5) \).

### Một số tổ hợp khác:

Ta có thể thử các tổ hợp khác với các giá trị từ phương trình đầu tiên. Hãy kiểm tra tất cả để tìm ra các bộ khác, hoặc xác nhận bộ đã tìm là duy nhất (nếu cần).

### Kết luận

Một bộ số nguyên \( x, y, z \) thỏa mãn là \( (0, 4, 5) \). Chúng ta có thể kiểm tra xem có bộ nào khác không thoả mãn.