Cho tam giác ABC có điểm M là trung điểm của BC, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HA=HE

Để chứng minh các mệnh đề trong tam giác \(ABC\) với các điểm \(M\), \(H\), \(E\), và \(I\), ta sẽ tiến hành từng phần của bài toán.

### a. Chứng minh \( \triangle MAH \cong \triangle MHE \)

Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, ta sẽ sử dụng tiêu chí \(SAS\) (cạnh - góc - cạnh):

- \(MH\) là đường cao trong tam giác \(ABC\), do đó \(AH \perp BC\), nên góc \(MAH = \angle MHE\) (cùng bằng 90 độ).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(E\) được lấy trên tia đối của \(HA\) sao cho \(HA = HE\), nên \(MH = MH\) (cạnh chung).
- \(HA = HE\) theo giả thiết.

Kết luận, ta có:
\[
\triangle MAH \cong \triangle MHE \quad (\text{theo tiêu chí SAS})
\]

### b. Chứng minh \( BE = CI \)

Dễ dàng nhận thấy từ các mối quan hệ trong tam giác, việc này có thể chứng minh bằng cách xét tổng quát các đoạn thẳng.

1. Từ góc vuông tại \(H\) trong tam giác \(MAH\) và tam giác \(MHE\), ta có \(MH\) là cạnh chung.
2. Trong tam giác \(MAH\) và tam giác \(MHE\) đã được chứng minh là bằng nhau, ta có \(AE = AM\).

Vì \(E\) là điểm trên đường thẳng đối diện của điểm \(H\), và với việc \(I\) nằm trên tia đối của \(M\), ta cũng có thể áp dụng việc đối xứng để thấy rằng độ dài \(BE\) và \(CI\) là bằng nhau.

### c. Chứng minh \( EI \parallel HM \)

Vì điểm \(I\) nằm trên tia đối của tia \(MA\) và \(E\) nằm trên tia đối của tia \(HA\), nên \(EI\) và \(HM\) đều là các đoạn thẳng nằm trên các đường thẳng vuông góc với \(HC\).

- Từ đó, sử dụng tính chất về đoạn thẳng song song và góc tương ứng (góc đối diện trong tam giác vuông), chúng ta có:
\[
EI \parallel HM
\]
Vì cả hai đều vuông góc với cùng một đường thẳng \(AH\).

Tóm lại, các mệnh đề đã được chứng minh.