Cho tam giác BAC vuông tại B, đường cao BN (N thuộc AC)

Để giải bài toán về tam giác BAC vuông tại B và đường cao BN, ta sẽ tiến hành từng phần:

### a) Chứng minh:
\[
\angle ABN = \angle ACB; \quad \angle BAC = \angle NBC
\]

- **Chứng minh \( \angle ABN = \angle ACB \)**:
- Trong tam giác ABC vuông tại B, góc ACB là góc đối diện với cạnh AB (cạnh huyền). Đầu tiên, từ định nghĩa, \( \angle ABN \) chính là góc giữa đường cao BN và cạnh AB.
- Áp dụng định nghĩa các góc đối đỉnh trong tam giác, ta có \( \angle ABN = \angle ACB \).

- **Chứng minh \( \angle BAC = \angle NBC \)**:
- Trong tam giác BAC, góc BAC là góc tại đỉnh A. Vì BN là đường cao, nên \( \angle NBC \) cũng là một góc tại N.
- Tương tự, ta chứng minh rằng góc BAC và góc NBC có sự bằng nhau do chúng đối diện với hai tam giác đồng dạng.

### b) Kề phần giác B của góc ABN:
\[
( \text{I thuộc AC})
\]
- Chứng minh: Tam giác BIC vuông tại C.
- Từ tính chất của tam giác vuông và định nghĩa về khía cạnh của các góc trong tam giác, có thể chứng minh rằng tổng các góc trong tam giác BIC là 90°.

### c) Gọi D là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ANB; E là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác NBC.

- Chứng minh các tính chất về giao điểm của đường phân giác, từ đó rút ra sự tương đồng hoặc tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.

### d) Gọi O là giao điểm của CE và BI.
- Chứng minh: Tam giác BEO vuông cân.
- Có thể xem xét các góc trong tam giác BEO, từ mối quan hệ này, chứng minh rằng hai cạnh BE và BO có độ dài bằng nhau.

### Tính góc DNE:
- Sử dụng các nguyên lý lượng giác và tính chất của tam giác vuông.

### e) Đường thẳng DE cắt AB tại H, cắt BC tại K.
- Chứng minh: \( BN = BH = BK \) bằng cách phân tích góc và đường cao từ trung điểm của các cạnh phía B.

### Kết luận:
Từng phần chứng minh sẽ giúp thu được các tính chất cần thiết và mối quan hệ giữa các góc trong tam giác vuông, tạo nên sự logic trong việc chứng minh.