Tìm các số tự nhiên n

a) Để tìm các số tự nhiên \( n \) sao cho tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến \( n \) chia hết cho 61, trước tiên ta cần biết công thức tính tổng của các số tự nhiên từ 1 đến \( n \):

\[
S_n = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Ta cần \( S_n \equiv 0 \mod 61 \), tức là:

\[
\frac{n(n+1)}{2} \equiv 0 \mod 61
\]

Điều này tương đương với \( n(n+1) \equiv 0 \mod 122 \) (vì \( 122 = 2 \times 61 \)).

Ta có hai trường hợp cần xem xét:

1. \( n \equiv 0 \mod 61 \)
2. \( n + 1 \equiv 0 \mod 61 \), tức là \( n \equiv 60 \mod 61 \)

Do \( 0 < n < 120 \), ta xét khoảng nguyên trong khoảng trên:

- Với \( n \equiv 0 \mod 61 \):
- \( n = 61 \)

- Với \( n \equiv 60 \mod 61 \):
- \( n = 60 \)

Như vậy các số tự nhiên \( n \) thỏa mãn yêu cầu là: \( n = 60 \) và \( n = 61 \).

b) Để giải phương trình \( 4x - 5 \) chia hết cho \( 2 - 3x \), ta có:

\[
4x - 5 \equiv 0 \mod (2 - 3x)
\]

Tức là:

\[
4x - 5 = k(2 - 3x)
\]

Với \( k \in \mathbb{Z} \). Ta có thể viết lại như sau:

\[
4x - 5 = 2k - 3kx
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
(4 + 3k)x = 2k + 5
\]

Ta cần \( 4 + 3k \neq 0 \) (để tránh chia cho 0). Khi đó, ta có:

\[
x = \frac{2k + 5}{4 + 3k}
\]

Để \( x \) là số nguyên, \( 2k + 5 \) phải chia hết cho \( 4 + 3k \). Phân tích phương trình này có thể phức tạp, vì vậy ta có thể thử các giá trị của \( k \) từ một khoảng nào đó.

1. Nếu \( k = 0 \):
\[
x = \frac{5}{4} \text{ (không nguyên)}
\]

2. Nếu \( k = 1 \):
\[
x = \frac{2 + 5}{4 + 3} = \frac{7}{7} = 1 \text{ (nguyên)}
\]

3. Nếu \( k = 2 \):
\[
x = \frac{4 + 5}{4 + 6} = \frac{9}{10} \text{ (không nguyên)}
\]

4. Nếu \( k = -1 \):
\[
x = \frac{-2 + 5}{4 - 3} = \frac{3}{1} = 3 \text{ (nguyên)}
\]

5. Nếu \( k = -2 \):
\[
x = \frac{-4 + 5}{4 - 6} = \frac{1}{-2} \text{ (không nguyên)}
\]

Như vậy, các giá trị nguyên \( x \) tìm được là \( x = 1 \) và \( x = 3 \).

Tóm lại, các số tự nhiên \( n \) trong phần a là: \( 60, 61 \) và các số nguyên \( x \) trong phần b là: \( 1, 3 \).