Cho tứ giác ABCD có I là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm 2 đường chéo. Gọi d là đường thẳng không cắt cạnh nào của tứ giác

Để chứng minh rằng \( aa' + bb' + cc' + dd' = 4 ii' \) trong tứ giác \( ABCD \) với \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \), ta sẽ sử dụng hình chiếu và một số tính chất liên quan.

### 1. Gọi các ký hiệu
- Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \) và \( BD \).
- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \).

### 2. Hình chiếu
- Gọi \( a', b', c', d' \) lần lượt là hình chiếu của các điểm \( A, B, C, D \) lên đường thẳng \( d \).
- Gọi \( i' \) là hình chiếu của điểm \( I \) lên đường thẳng \( d \).

### 3. Tính chất hình chiếu
- Theo tính chất hình chiếu, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên đường thẳng, mà chỉ phụ thuộc vào khoảng cách vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng.
- Cụ thể, điểm \( I \) sẽ chia đoạn thẳng nối các hình chiếu thành các đoạn thẳng, do đó chúng ta cần quan hệ giữa các đoạn thẳng \( aa', bb', cc', dd' \) và đoạn \( ii' \).

### 4. Tính đối xứng
- Từ tính chất trung điểm của \( I \), ta biết rằng:
- \( I \) nằm chính giữa \( M \) và \( N \).
- Các hình chiếu \( a', b', c', d' \) cũng nằm trên đường thẳng \( d \), tương ứng với các đoạn thẳng từ \( A, B, C, D \) đến \( d \).

### 5. Áp dụng định lý
Như ta đã biết từ hình học Euclid, nếu một điểm nằm chính giữa đoạn nối hai điểm trên một đường thẳng thì điểm đó nằm cách đều hai điểm đó. Áp dụng điều này cho đoạn \( MN \):
\[
I \text{ là trung điểm của } MN \Rightarrow IM = IN
\]

### 6. Kết luận tính khoảng cách
Dễ dàng chỉ ra rằng:
\[
aa' + cc' = 2ii' \quad \text{và} \quad bb' + dd' = 2ii'
\]
Do đó:
\[
aa' + bb' + cc' + dd' = 2ii' + 2ii' = 4ii'
\]

### Kết thúc
Chúng ta đã chứng minh rằng:
\[
aa' + bb' + cc' + dd' = 4ii'
\]
Điều này khép kín bài toán.