Tính góc AOB, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, Tính khoảng cách từ giữa hai đường thẳng AC và BD theo R

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Tính góc AOB

Trong tam giác AOB, ta có:
- AO = 2R (R là bán kính đường tròn).
- OB = R (bán kính đường tròn).
- AC là tiếp tuyến, nghĩa là AC vuông góc với OA tại điểm C.

Dựa vào định lý về tam giác vuông:

\[
\cos(\angle AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}
\]

Từ đây ta suy ra:

\[
\angle AOB = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ
\]

### b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

Từ định nghĩa tiếp tuyến, một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm nếu đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

- Ở đây, AC vuông góc với OA (tại điểm C), mà OA là bán kính đường tròn. Do đó, AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

### c) Tính khoảng cách từ giữa hai đường thẳng AC và BD

Với B nằm trên đường thẳng ngang, ta cần tìm khoảng cách giữa AC và BD.

Cho điểm H là giao điểm của OA và BD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (AC và BD) là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Khoảng cách này được tính bằng:

\[
\text{Khoảng cách} = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Trong trường hợp cụ thể, cần có phương trình chính xác của các đường thẳng AC và BD để tìm khoảng cách. Tuy nhiên, nếu AC và BD là song song và biết một điểm trên một trong hai đường thẳng, thì khoảng cách giữa chúng sẽ là hằng số.

Nếu điểm H là điểm giữa, thì khoảng cách sẽ được tính chai R.

Tóm lại, tổ hợp các kết quả trong bài toán là:
- Góc AOB = 60°
- AC là tiếp tuyến
- Khoảng cách giữa AC và BD = R.