Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

**a)** Chứng minh rằng A, D, E thẳng hàng và BCDE là hình chữ nhật.

1. **Chứng minh A, D, E thẳng hàng:**

- Ta có đường cao AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
- Do AHBE là hình chữ nhật, nên AE // BH và AE = BH.
- Tương tự, AHCD là hình chữ nhật nên AD // CH và AD = CH.
- Vì D và E lần lượt ở trên đường thẳng BC, do đó AE và AD đều vuông góc với BC.
- Khi đó, A, D, E nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với BC, tức là A, D, E thẳng hàng.

2. **Chứng minh BCDE là hình chữ nhật:**

- Bởi vì AE // BH và AD // CH, mà cả BH và CH đều vuông góc với BC.
- Do đó, AE và AD cũng vuông góc với BC. Ta đã biết rằng AE = BH và AD = CH do tính chất của hình chữ nhật.
- Để BCDE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng BD = CE và AD = BE.
- Từ A, D, E thẳng hàng, ta suy ra BD = CE.

Như vậy, BCDE là hình chữ nhật.

---

**b)** Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

- Gọi M là tâm của hình chữ nhật BCDE, N là tâm của hình chữ nhật AHBE, P là tâm của hình chữ nhật AHCD.
- Tâm M của hình chữ nhật BCDE sẽ là điểm giữa của đoạn thẳng nối B và D, và cũng là điểm giữa giữa C và E.
- Tâm N của hình chữ nhật AHBE sẽ là điểm giữa của đoạn thẳng nối A và H, và N cũng là điểm giữa nối A và B.
- Tương tự, tâm P của hình chữ nhật AHCD sẽ là điểm giữa đoạn thẳng nối A và H, và P cũng là điểm giữa nối A và D.

Xét các tọa độ của các tâm:
- M nằm giữa B và C (theo chiều dọc, do BC // DE).
- N nằm giữa A và H (theo chiều cao).
- P cũng nằm giữa A và H (vì tập hợp các điểm thẳng hàng).

Như vậy, M, N, P đều thẳng hàng trên một đường thẳng.

---

**c)** Dựng hình bình hành HNQP và chứng minh rằng ANPQ là hình thang cân.

1. **Dựng hình bình hành HNQP:**

- Dựa vào định nghĩa hình bình hành, ta có HNQP sao cho HN // PQ và HN = PQ.
- Trong đó, HN là đoạn nối giữa H và N (tâm của hình AHBE), và PQ là đoạn nối giữa N và P (tâm của hình AHCD).

2. **Chứng minh ANPQ là hình thang cân:**

- Hình thang là hình có hai cạnh đối song song, trong đó AN // PQ.
- Do N là trung điểm của AHBE và P là trung điểm của AHCD, nên AN bằng PQ (bởi tính chất của tâm hình chữ nhật).
- Điều này cho thấy ANPQ có AN // PQ, và AN = PQ, nên ANPQ là hình thang cân.

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.