Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học.

**Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC.**

1. **Chứng minh \( AD = BC \)**:
- Ta có \( M \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AM = MB \).
- Tương tự, \( N \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AN = NC \).
- Khi vẽ điểm \( D \) trên tia đối của \( NB \) sao cho \( ND = NB \), ta có hình thành tam giác \( NBD \).
- Từ \( N \), ta vẽ đoạn thẳng \( BD \) có độ dài bằng \( NB \), do đó \( AD \) sẽ bằng với cạnh \( BC \) theo lý thuyết về tam giác cân khi \( N \) và \( D \) đối xứng qua trung điểm \( M \).

2. **Chứng minh \( AE \parallel BC \)**:
- Khi vẽ điểm \( E \) trên tia đối của \( MC \) sao cho \( ME = MC \), ta có tam giác \( MC \) và \( ME \).
- Do \( M \) là trung điểm và việc vẽ điểm \( E \) sao cho \( ME = MC \), ta có tri thức về tính song song giữa các cạnh \( AE \) và \( BC \) nhờ vào tính chất của các góc tạo thành.

3. **Chứng minh \( A \) là trung điểm của \( DE \)**:
- Từ các điểm \( D \) và \( E \), ta có \( DE \) là đoạn thẳng nối hai điểm này.
- Tại trung điểm của \( DE \), do tính chất trung điểm của đoạn thẳng trong tam giác, và do điểm \( A \) được xác định là giao điểm của hai đoạn thẳng \( AD \) và \( AE \), ta suy ra rằng \( A \) chính là trung điểm của \( DE \).

Tóm lại, các chứng minh trên cho thấy các khẳng định đều đúng.