Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh \( AD = AE \).

1. Theo giả thiết, \( AB = AC \).
2. Ta có \( \angle ABD = \angle ACE \) (theo giả thiết của bài toán).
3. Trong tam giác \( ABD \) và tam giác \( ACE \):
- Có \( AB = AC \) (giả thiết),
- Có \( \angle ABD = \angle ACE \) (theo giả thiết),
- Do đó, theo định lý sin hoặc định lý tam giác, ta có \( AD = AE \).

### b) Gọi \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \). Chứng minh \( \triangle EBI \cong \triangle DCI \).

1. Ta có:
- \( AD = AE \) (đã chứng minh ở trên).
- \( \angle EBI = \angle DCI \) (bởi vì hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại I).
- \( AB = AC \) (giả thiết).
2. Do đó, theo tiêu chí cạnh cạnh góc (CCG), ta có \( \triangle EBI \cong \triangle DCI \).

### c) Chứng minh \( AI \perp BC \).

1. Vì \( AB = AC \) và \( AD = AE \), ta có \( AI \) là đường trung tuyến ứng với cạnh \( BC \).
2. Theo định lý đường trung tuyến, đường trung tuyến trong tam giác vuông với hai cạnh bằng nhau là đường cao (tức là vuông góc với cạnh đáy).
3. Do đó, \( AI \perp BC \).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành cả ba yêu cầu của bài toán.