Để tính các tích vô hướng trong tam giác đều \( ABC \) có cạnh \( a \) và trọng tâm \( G \), chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về trọng tâm và các vectơ trong không gian.

Trọng tâm \( G \) của tam giác là trung điểm của ba đoạn thẳng nối từ các đỉnh đến các cạnh đối diện.

### Các vector cần tính:

1. **Vector \( \overrightarrow{AB} \)**:
- Đối với tam giác đều, vectơ này có độ dài bằng \( a \) và hướng từ \( A \) đến \( B \).

2. **Vector \( \overrightarrow{AC} \)**:
- Tương tự như trên, vectơ này có độ dài bằng \( a \) và hướng từ \( A \) đến \( C \).

3. **Vector \( \overrightarrow{AG} \)**:
- Vì \( G \) là trọng tâm, nên \( \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \).

4. **Vector \( \overrightarrow{BG} \)**:
- Có thể được tính bằng cách biểu diễn \( G \) là trung điểm của \( A \) và \( C \).

5. **Vector \( \overrightarrow{CG} \)**:
- Cũng tương tự như vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \).

### Tính tích vô hướng:

Các tích vô hướng cần tính là:

- \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \)
- \( \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AC} \)
- \( \overrightarrow{BG} \cdot \overrightarrow{GC} \), và các tích khác theo yêu cầu.

Giả sử các đỉnh của tam giác đều được xác định trong mặt phẳng tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a\right) \)

Từ đây, bạn có thể tính toán các vectơ và áp dụng công thức tích vô hướng. Kết quả sẽ cho bạn thấy mối quan hệ giữa các cạnh và trọng tâm của tam giác.

Nếu bạn cần chỉ ra cụ thể các phép tính, vui lòng cho biết thêm!