Để giải bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng yêu cầu một cách chi tiết.

### a) Chứng minh AH = DP

1. **Chứng minh D là điểm trên AB** và H là chân đường cao từ A trên BC, chúng ta có hai tam giác vuông: ΔAHB và ΔHAC.
2. D vì H nằm giữa A và B, nên chúng ta có AH vuông góc với AB và D nằm trên đoạn AB.
3. Tính chất đường cao và tính chất song song HD // AC: Do HD // AC, ta có các góc tương ứng bằng nhau: ∠AHD = ∠HAC và ∠AOD = ∠HDP.
4. Tương tự cho đoạn DP.

Bây giờ chúng ta xét tỉ lệ giữa các đoạn AH và DP. Từ tính chất của các góc bên trong chúng ta có:

\[
AH = DO
\]
\[
DP = AH
\]

Vậy chúng ta có:
\[
AH = DP.
\]

### b) ΔMAC là tam giác gì?

1. ΔMAC là tam giác có cạnh AM là trung tuyến, nghĩa là điểm M là trung điểm của đoạn BC.
2. Do AB vuông góc với AC ở A, nên ΔMAC cũng vuông tại M (vì ∠BAM = 90° do tính chất của tam giác vuông).

Do đó, ta kết luận rằng ΔMAC là một tam giác vuông tại M.

### c) Chứng minh ΔAPN là tam giác vuông

1. Từ giả thiết, HP // AB nên ∠APN = ∠PAB (các góc đồng vị).
2. Trong ΔABP, đoạn HP là đường song song với AB, nghĩa là mọi đường thẳng từ một điểm trên HP, vuông góc với AB cũng sẽ vuông góc với AC.
3. Như vậy, chúng ta có ∠APN = ∠PAB.
4. Vì ΔABC vuông tại A, suy ra ∠C = 90°.
5. Cộng thêm, ∠APN = ∠CAB.

Kết hợp các kết luận này cùng với việc ∠ABP = 90°, ta kết luận ΔAPN là tam giác vuông tại P.

---

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh:

a) \( AH = DP \),
b) ΔMAC là tam giác vuông tại M,
c) ΔAPN là tam giác vuông tại P.