Cho tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \). Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \).

### a) Chứng minh \( \triangle AIC = \triangle AIB \)

- Vì \( AB = AC \) (tham số cho sẵn).
- \( AI \) là chung một cạnh.
- \( I \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BI = CI \).

Áp dụng tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh và có thể kết luận rằng:

\[
\triangle AIC \cong \triangle AIB \Rightarrow \angle AIC = \angle AIB.
\]

### b) Kẻ đường thẳng qua \( I \) và vuông góc với \( AB \) tại \( D \).

Gọi \( E \) sao cho \( ID = IE \). Chứng minh \( AB \parallel CE \):

- \( AD \) vuông góc với \( AB \).
- \( ID = IE \) (điều kiện cho \( E \)).
- Do đó, \( \triangle AID \cong \triangle AIE \) theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh.

Từ đó, suy ra \( AB \parallel CE \).

### c) Kẻ \( EK \) vuông góc với \( BC \) tại \( K \), cắt cạnh \( AC \) tại \( H \). Chứng minh \( HD \perp AI \):

- \( EK \) vuông góc với \( BC \).
- \( HI \) vuông góc với \( AB \) (theo chứng minh trước).
- Sử dụng định nghĩa đường vuông góc, ta có \( H \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AI \).

Như vậy, ta đã hoàn thành các bước chứng minh.