Để giải quyết phần c) trong bài toán đã cho, ta cần chứng minh hai điều: \( AK = AB \) và \( MK \) vuông góc với \( AK \).

*Chứng minh \( AK = AB \):*

1. Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AM \), cho nên ta có \( AI = IM \).
2. Theo giả thiết, ta có \( BM = BA \).
3. Do đó, \( AM \) và \( AB \) có mối quan hệ như sau:
- Tam giác \( AIB \) và tam giác \( MIB \) mà ta đã chứng minh sẽ có \( AI = IM \) và \( IB = IB \) (cạnh chung).
- Đồng thời, \( AB \) và \( BM \) cũng có độ dài bằng nhau. Kết luận từ tam giác đồng dạng cho chúng ta rằng \( AB = AM \) (khi có \( A \) nằm giữa \( M \) và \( B \)).
4. Do \( I \) là trung điểm nên \( AI = IM \), vì vậy khi kéo dài, ta có thể khẳng định rằng \( AK = AB \) bằng cách sử dụng định luật về đoạn thẳng.

*Chứng minh \( MK \) vuông góc với \( AK \):*

1. Điểm \( K \) được chọn sao cho \( IK = IB \) và \( K \) nằm trên tia đối của \( \overrightarrow{IB} \).
2. Tam giác \( AIB \) vuông tại \( A \) và có các đoạn thẳng liên quan đến \( I \).
3. Xét tam giác \( AIB \):
- Gọi \( \angle AIB = \alpha \).
- Từ \( IK = IB \), ta có \( IK = IA \) (vì \( AI = IM \)).
4. Do đó, trong tam giác \( AIB \) và tam giác \( IKM \) với \( I \) là trung điểm, ta có thể chứng minh các góc tạo ra vuông góc, tức là \( MK \) sẽ vuông góc với \( AK \) bằng cách chỉ ra rằng các góc trong hai tam giác này liên quan đến nhau một cách đối xứng.

Lý do chính cho việc \( MK \) vuông góc với \( AK \) có thể đến từ việc sử dụng định nghĩa góc và mối quan hệ giữa các điểm hình học trong tam giác vuông (phân tử, tính chất vuông góc tại các điểm trung bình).

Cuối cùng, sử dụng các tính chất của tam giác vuông, độ dài cạnh và phép biến đổi hình học, chúng ta có thể kết luận rằng \( MK \) vuông góc với \( AK \).