Chúng ta sẽ giải từng phần một của bài toán:

### a. Chứng minh tam giác BAM = tam giác BCM

Trong tam giác ABC, vì \( BA = BC \) (điều kiện cho tam giác đều), nên ta có:

- \( AB = BC \) (theo giả thiết).
- \( AM = CM \) (vì M là trung điểm của AC).
- Góc \( \angle BAM = \angle CAM \) (cùng bằng 1 góc tại đỉnh, vì hai tam giác chia sẻ cạnh AC).

Vì vậy, theo tiêu chí cạnh-cạnh-góc (CCG), tam giác BAM cong đều với tam giác BCM, do đó:

\[ \triangle BAM \cong \triangle BCM \]

### b. Chứng minh tam giác EMB = tam giác FMB

Vì đã có M là trung điểm của AC, và ta đã kẻ đường vuông góc từ M đến các cạnh AB và BC:
- \( ME \perp AB \)
- \( MF \perp BC \)

**Từ các tính chất đã có, ta có:**
- \( MB \) là chung.
- \( ME \) vuông góc với \( AB \) và \( MF \) vuông góc với \( BC \).

Do đó, từ điều kiện vừa nêu cho ta biết:

- \( \angle EMB = \angle FMB = 90^\circ \)

Mặt khác, đối với đoạn thẳng \( MB \) như cafe, vì \( ME = MF \) (cùng là đoạn vuông góc cắt hai cạnh).

Từ các điều kiện trên, ta có thể suy ra:

\[ \triangle EMB \cong \triangle FMB \]

### c. Chứng minh BM vuông góc EF

Vì \( ME \perp AB \) và \( MF \perp BC \), nên góc \( \angle MEB \) và \( \angle MFB \) đều là các góc vuông.

Khi kẻ \( EF \) (dựa trên hai đường dẫn vuông góc vẽ từ M), ta thấy rằng:

- \( E \) thuộc \( AB \) và \( F \) thuộc \( BC \).
- Hơn nữa, ta có mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và góc vuông ở M.

Khi tứ giác \( MEBF \) được hình thành, với các đoạn vuông góc đã được kẻ, thì tam giác MEB và MFB cho thấy rằng các cạnh MB nằm trong cùng một mặt phẳng.

Do đó, suy ra rằng:

\[ BM \perp EF \]

Như vậy, cả ba phần chứng minh đã hoàn tất.