Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### Phần a: Chứng minh \(\triangle DANE \cong \triangle AKHE\)

1. **Xác định các điểm trong tam giác**:
- \(H\) là chân đường vuông góc từ điểm \(A\) đến đoạn thẳng \(BC\).
- \(K\) là điểm trên đường thẳng mở rộng của đường thẳng \(HA\) sao cho \(HK = HA\).
- \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\).

2. **Chứng minh các cặp cạnh tương ứng bằng nhau**:
- Trong tam giác \(\triangle DANE\):
- \(AE = AE\) (cạnh chung).
- \(DE = EA\) (do \(E\) là trung điểm của \(BC\)).

- Trong tam giác \(\triangle AKHE\):
- \(AH = AH\) (cạnh chung).
- \(HK = HA\) (theo điều kiện của bài toán).

3. **Chứng minh hai góc tương ứng bằng nhau**:
- Xét góc \(\angle DAE\) và \(\angle KAH\): do các điểm \(D, A, E\) nằm trên một đường thẳng, và \(K, A, H\) nằm trên một đường thẳng,
- Mặt khác, \(H\) là chân đường vuông góc từ \(A\) đến \(BC\) nên \(\angle HAE = \angle DAE\).

4. **Kết luận**:
- Từ các điều trên, chúng ta có:
\[
\triangle DANE \cong \triangle AKHE \text{ (theo tiêu đề cạnh, cạnh, góc)}.
\]

### Phần b: Chứng minh \(AC = BD = CK\)

1. **Gọi \(D\) là điểm trên tia đối của \(EA\) sao cho \(ED = EA\)**.
- Từ phần a, ta có \(\triangle DANE \cong \triangle AKHE\).

2. **Sử dụng đồng dạng**:
- Ta đã biết \(AE = EA\) và \(ED = EA\).
- Từ câu a, ta có \(AD = AN\).
- Vì vậy, \(AD = AN = CK\) (từ sự tương ứng trong hai tam giác bằng nhau).

3. **Chứng minh độ dài**:
- Do các đoạn thẳng có độ dài bằng nhau, từ quan hệ đường chéo, ta kết luận:
\[
AC = BC \text{ và } BD = CK.
\]

### Phần c: Chứng minh \(DK \parallel BC\)

1. **Sử dụng tính chất của hai tam giác**:
- Xem xét hai tam giác \(\triangle ADE\) và \(\triangle AKH\).
- Dựa trên chứng minh \(\triangle DANE \cong \triangle AKHE\), ta có \(AD \parallel AK\).

2. **Kết luận**:
- Do đó, \(DK \parallel AE\) (theo chiều cao của tam giác).
- Từ kết quả trên, khi \(H\) là chân đường vuông góc, ta có:
\[
DK \parallel BC.
\]

Tóm lại, các chứng minh trên cho thấy các yêu cầu trong bài toán đã được chứng minh thành công.