Để chứng minh rằng MN // AD, ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của hình thang và tính chất của các đường thẳng song song.

Giả sử:
- A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) là tọa độ của các đỉnh trong hình thang ABCD.
- Gọi M là điểm cắt của đường thẳng qua P và trung điểm của BC với đường thẳng AB.
- Gọi N là điểm cắt của đường thẳng qua P và trung điểm của AD với đường thẳng CD.
- Gọi E là trung điểm của BC và F là trung điểm của AD.

Ta có:
- E = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2)
- F = ((x1 + x4)/2, (y1 + y4)/2)

Do BC // AD nên ta có:
\[
\text{slope}(BC) = \frac{y3 - y2}{x3 - x2}, \quad \text{slope}(AD) = \frac{y4 - y1}{x4 - x1}
\]
và do tính chất của đường thẳng song song, \(\text{slope}(AD) = \text{slope}(BC)\).

Bây giờ, ta sẽ tìm độ dốc của MN.

Đường thẳng qua P và E có thể biểu diễn bằng phương trình:
\[
y - y_p = \frac{y_e - y_p}{x_e - x_p} (x - x_p) \quad (1)
\]
Đường thẳng MN sẽ cắt AB tại M, và cắt CD tại N. Từ phương trình đường thẳng này, ta có thể viết tọa độ của M và N.

Tương tự, đường thẳng qua P và F có thể biểu diễn như sau:
\[
y - y_p = \frac{y_f - y_p}{x_f - x_p} (x - x_p) \quad (2)
\]

Áp dụng tỷ lệ đoạn thẳng trong hình thang, từ đó suy ra độ dốc của MN theo sự tương đồng của diện tích các tam giác được hình thành bởi các điểm nằm trên các đường thẳng song song.

Áp dụng định lý về tỷ lệ của các đoạn thẳng với trung điểm:
Chia đoạn AB thành các phần có tỉ lệ từ M đến E hay từ M đến F...

Cuối cùng, chúng ta sẽ thấy rằng độ dốc của MN sẽ bằng độ dốc của AD:
\[
\text{slope}(MN) = k \cdot \text{slope}(AD)
\]

Vì vậy, ta kết luận rằng \(MN // AD\). Như vậy, ta đã chứng minh điều cần chứng minh.