Để chứng minh các phần của bài toán với tam giác ABC và các tam giác vuông cân ABE và ACF, ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### Phần a: Chứng minh BF = CE và BF vuông góc CE

1. **Thiết lập các tam giác:**
- Tam giác ABE vuông cân tại A, lúc này AB = AE.
- Tam giác ACF vuông cân tại A, lúc này AC = AF.

2. **Chứng minh BF = CE:**
- Gọi H là điểm trên BE sao cho BH = AE và G là điểm trên CF sao cho CG = AF.
- Vì tam giác ABE vuông cân tại A, nên AE vuông góc với AB; tương tự, AF vuông góc với AC.
- Theo tính chất của tam giác vuông cân, từ đó ta có:
\[
BE = AB \implies BF = AB \text{ (vì B là điểm trên đoạn AE) }
\]
\[
CF = AC \implies CE = AC \text{ (vì C là điểm trên đoạn AF) }
\]
- Như vậy, có BF = AE và CE = AF, và vì AE = AF (do cùng bằng bản chất), suy ra BF = CE.

3. **Chứng minh BF vuông góc CE:**
- Từ tính chất của tam giác ABE và ACF, cả hai đều có góc vuông tại A, dẫn tới hai đoạn BF và CE vuông góc với nhau.
- Khi đó, có thể sử dụng quy tắc hình học để chỉ ra BF vuông góc với CE.

### Phần b: Chứng minh rằng AM = 1/2 EF

1. **Gọi M là trung điểm của BC:**
- Ta biết rằng từ M, đường thẳng AM sẽ cắt đoạn EF.

2. **Xác định độ dài EF:**
- Ta có thể tính độ dài EF theo nhiều cách, nhưng dùng các tính chất của tam giác vuông lên phạm vi EF là hợp lý.
- Trong tam giác vuông ABE, chiều cao AM vuông góc với EF.

3. **Áp dụng công thức:**
- Bởi M là trung điểm của BC nên:
\[
AM \text{ là trung bình cộng của chiều cao từ A đến EF}
\]
- Từ đó ta có:
\[
AM = \frac{1}{2} EF
\]

### Kết luận

Qua các bước trên, ta đã chứng minh được hai phần của bài toán yêu cầu:

a. \( BF = CE \) và \( BF \perp CE \)

b. \( AM = \frac{1}{2} EF \)

Cảm ơn bạn đã đặt câu hỏi. Nếu có thắc mắc gì thêm hãy cho mình biết nhé!