Để chứng minh rằng \( 2 \vec{IJ} = \vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC} \), trước tiên chúng ta cần định nghĩa các điểm và vecto trong không gian.

Giả sử các điểm A, B, C, D có tọa độ như sau:
- \( \vec{A} = \vec{a} \)
- \( \vec{B} = \vec{b} \)
- \( \vec{C} = \vec{c} \)
- \( \vec{D} = \vec{d} \)

Theo đề bài, I và J là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD. Do đó, tọa độ của I và J được tính như sau:
\[
\vec{I} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}
\]
\[
\vec{J} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}
\]

Tính vecto \( \vec{IJ} \):
\[
\vec{IJ} = \vec{J} - \vec{I} = \left( \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \right) - \left( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \right) = \frac{(\vec{c} + \vec{d}) - (\vec{a} + \vec{b})}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b}}{2}
\]

Chúng ta sẽ chứng minh rằng:
1. \( 2 \vec{IJ} = \vec{AC} + \vec{BD} \)
2. \( 2 \vec{IJ} = \vec{AD} + \vec{BC} \)

### Bước 1: Chứng minh \( 2 \vec{IJ} = \vec{AC} + \vec{BD} \)

Tính \( \vec{AC} \) và \( \vec{BD} \):
\[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \vec{c} - \vec{a}
\]
\[
\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \vec{d} - \vec{b}
\]

Tính tổng:
\[
\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b}) = \vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b}
\]

Do đó:
\[
\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b} = 2\vec{IJ}
\]

### Bước 2: Chứng minh \( 2 \vec{IJ} = \vec{AD} + \vec{BC} \)

Tính \( \vec{AD} \) và \( \vec{BC} \):
\[
\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \vec{d} - \vec{a}
\]
\[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \vec{c} - \vec{b}
\]

Tính tổng:
\[
\vec{AD} + \vec{BC} = (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b}
\]

Do đó:
\[
\vec{AD} + \vec{BC} = \vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b} = 2\vec{IJ}
\]

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được rằng \( 2 \vec{IJ} = \vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC} \).