Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định với một vận tốc xác định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 20 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1/3 giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 20 km/h thì sẽ đến B muộn 1/2 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB

Để giải bài toán này, ta sử dụng các công thức liên quan đến vận tốc, quãng đường và thời gian.

Gọi:
- Vận tốc dự định của ô tô là \( v \) (km/h).
- Thời gian dự định để đi từ A đến B là \( t \) (giờ).
- Quãng đường AB là \( d \) (km).

Ta có các mối quan hệ sau:

1. Khi ô tô tăng vận tốc thêm 20 km/h, thời gian đi sẽ là \( t - \frac{1}{3} \) giờ, và quãng đường vẫn là \( d \). Khi đó, ta có:
\[
d = (v + 20) \left(t - \frac{1}{3}\right)
\]
Từ đó, làm rõ:
\[
d = vt \implies vt = (v + 20) \left(t - \frac{1}{3}\right)
\]

2. Khi ô tô giảm vận tốc đi 20 km/h, thời gian đi sẽ là \( t + \frac{1}{2} \) giờ. Ta cũng có:
\[
d = (v - 20)\left(t + \frac{1}{2}\right)
\]
Từ đó, làm rõ:
\[
d = vt \implies vt = (v - 20)\left(t + \frac{1}{2}\right)
\]

Bây giờ ta có hai phương trình:
1. \( vt = (v + 20) \left(t - \frac{1}{3}\right) \)
2. \( vt = (v - 20) \left(t + \frac{1}{2}\right) \)

Bắt đầu với phương trình đầu tiên:
\[
vt = (v + 20) \left(t - \frac{1}{3}\right)
\]
Phát triển và sắp xếp lại:
\[
vt = vt + 20t - \frac{v}{3} - \frac{20}{3}
\]
\[
0 = 20t - \frac{v}{3} - \frac{20}{3}
\]
Nhân tất cả các hạng tử với 3 để loại bỏ mẫu số:
\[
0 = 60t - v - 20
\]
Ta có:
\[
v = 60t - 20 \quad \text{(1)}
\]

Tiếp theo với phương trình thứ hai:
\[
vt = (v - 20)\left(t + \frac{1}{2}\right)
\]
Phát triển và sắp xếp lại:
\[
vt = vt - 20t + \frac{v}{2} - 10
\]
\[
0 = -20t + \frac{v}{2} - 10
\]
Nhân tất cả các hạng tử với 2 để loại bỏ mẫu số:
\[
0 = -40t + v - 20
\]
Ta có:
\[
v = 40t + 20 \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ ta có hai biểu thức cho \( v \):
- Từ (1): \( v = 60t - 20 \)
- Từ (2): \( v = 40t + 20 \)

Giải hệ phương trình này:
\[
60t - 20 = 40t + 20
\]
\[
60t - 40t = 20 + 20
\]
\[
20t = 40 \implies t = 2
\]

Thay \( t = 2 \) vào một trong hai biểu thức để tìm \( v \):
\[
v = 60(2) - 20 = 120 - 20 = 100 \quad \text{(km/h)}
\]

Cuối cùng, tìm quãng đường \( d \):
\[
d = vt = 100 \times 2 = 200 \quad \text{(km)}
\]

Vậy quãng đường AB là \( d = 200 \) km.