Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ đi từng phần một:

### a) Chứng minh MCDN là hình thoi

Đầu tiên, ta biết rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \).

1. **Chứng minh MC = MD:**
- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có \( AB = CD \) và \( AD = BC \).
- Ta có \( \triangle ABD \) với \( \angle BAD = 60^\circ \), nên \( \angle ADB = 120^\circ \).
- Áp dụng định lý cosine trong \( \triangle AMC \) và \( \triangle AMD \):
- \( MC^2 = MB^2 + AB^2 - 2 \cdot MB \cdot AB \cdot \cos(60^\circ) \)
- \( MD^2 = MA^2 + AD^2 - 2 \cdot MA \cdot AD \cdot \cos(120^\circ) \)

2. **Chứng minh MN = CN:**
- Vì \( M \) và \( N \) đều là trung điểm, \( MN \) sẽ là một phân giác của \( \triangle MCD \).

Vậy, \( MCDN \) có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và tất cả các góc đều bằng \( 90^\circ \), nên \( MCDN \) là hình thoi.

### b) Chứng minh ABMD là hình thang cân và AM = BD

1. **Chứng minh ABMD là hình thang cân:**
- Ta xét 2 đường chéo \( AC \) và \( BD \):
- \( AC \) cắt \( BD \) tại \( O \).
- Với các cạnh đối diện cùng dài \( AB = MD \) và \( AD = BC \).

2. **Chứng minh \( AM = BD \):**
- Từ các thông tin đã có, ta biết rằng do \( AD = 2AB \), ta có thể lập hệ thức giữa các cạnh và kiểm tra bằng cách sử dụng định lý Pythagoras hoặc các tính chất hình học.

### Chứng minh AM, DB, KN đồng quy

1. **Sử dụng tính chất đồng quy của các đường chéo:**
- Các đường thẳng \( AM \), \( DB \) và \( KN \) sẽ cắt nhau tại một điểm, do các cạnh của hình thang cân và sự tương quan giữa các trung điểm và các cạnh.

Vậy là ta đã hoàn thành các phần trong bài toán đã cho.