Để chứng minh các phần trong bài, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh: Tứ giác BDCN là hình bình hành.

1. **Khi M là trung điểm của BC, ta có**: \( BM = MC \).
2. **Khi N là trung điểm của AC, ta có**: \( AN = NC \).
3. **Theo định nghĩa điểm D**: Điểm D được xác định nằm trên tia đối với MN, và MD = MN. Hình dạng này nghĩa là MD phải song song với BN (vì MN) và có độ dài bằng với BN.

4. **Xét hai đường chéo BD và CN**:
- Ta chứng minh rằng \( \overline{BD} \) và \( \overline{CN} \) song song với nhau.
- Hai đoạn thẳng \( BD \) và \( CN \) có cùng độ dài vì MD = MN và độ dài của MN bằng với chiều dài của đoạn AC (bằng ¼ BC).

5. **Kết luận**: Tứ giác BDCN có hai cặp cạnh đối diện cân bằng và song song, từ đó suy ra rằng BDCN là hình bình hành.

### b) Chứng minh: AD = BN

1. **Điểm N** là trung điểm của AC, do đó:
\[
AN = NC
\]

2. **Xét tam giác ADC**: Trong tam giác vuông ADC, với góc A vuông.
- **Vì D thuộc tia đối MN**, ta có AD = MD = MN.

3. **Tính độ dài BN**:
- Do N là trung điểm AC, và AD là một đoạn vuông góc với DC khi A là đỉnh (góc vuông), thì \( AN = NC\).

4. **Kết luận**: Do đó, ta có \( AD = BN \) từ tính chất của trung điểm và sự tương ứng với tam giác vuông.

### c) Tính diện tích tam giác vuông ABC khi biết AM = 5 cm và AC = 8 cm.

1. **Xác định các chiều dài khác**:
- Gọi \( AB = b \) và \( AC = h = 8 \) cm.
- Theo định nghĩa trung điểm, \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Theo định lý Pythagore:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

2. **Diện tích của tam giác ABC**:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]

3. **Biết diện tích \( AM = 5 \) cm, do đó trường hợp chúng ta sẽ sử dụng công thức là**:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot b
\]

4. **Tính chiều dài \( b \)** từ mối liên hệ AM và cạnh h:
- Nếu \( AC = 8 \) cm và dùng Pythagore, \( AM = 5 \).
- Chúng ta có:
\[
h^2 = AM^2 + AN^2 \Rightarrow 8^2 = 5^2 + b^2
\]

5. **Giải phương trình**:
\[
64 = 25 + b^2 \Rightarrow b^2 = 39 \Rightarrow b = \sqrt{39}
\]

6. **Tính diện tích**:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times b \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{39} \times 8 = 4\sqrt{39} \text{ cm}^2.
\]

**Kết luận**: Diện tích tam giác vuông ABC là \( 4\sqrt{39} \text{ cm}^2 \).