Để chứng minh rằng luôn tìm được số có dạng \( N = 202420242024 \ldots 2024 \) (gồm các số 2024 viết liên tiếp) chia hết cho 2025, chúng ta cần xem xét tính chia hết của số này cho 2025.

Ta nhận thấy rằng \( 2025 = 5 \times 405 \). Do đó, để số \( N \) chia hết cho 2025, nó cần phải chia hết cho cả 5 và 405.

### 1. Kiểm tra chia hết cho 5:

Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Trong trường hợp của \( N \), chữ số tận cùng của \( N \) là chữ số 4 (bởi vì 2024 có tận cùng là 4), do đó \( N \) không chia hết cho 5.

### 2. Kiểm tra chia hết cho 405:

Ta cần xem xét tính chia hết của \( N \) cho 405. Ta có thể phân tích \( 405 = 5 \times 81 \).

- **Chia hết cho 5:** Như đã nêu ở trên, \( N \) không chia hết cho 5.

- **Chia hết cho 81:** Ta cần xét \( N \) theo mod 81.

Để tính \( N \mod 81 \), trước tiên ta viết \( N \) dưới dạng tổng của các số dạng \( 2024 \) (tức là \( 2024, 2024 \ldots \)).

Số \( N \) có \( k \) lần số \( 2024 \), có thể được viết là:

\[
N = 2024 \times (10^{4k - 4} + 10^{4k - 8} + \ldots + 1)
\]

Tổng này là một cấp số cộng với \( k \) số hạng và có công bội là \( 10^{-4} \):

Tổng \( S = 10^{4(k-1)} + 10^{4(k-2)} + \ldots + 10^0 \):

\[
S = \frac{10^{4k} - 1}{10^4 - 1}
\]

Bây giờ ta chỉ cần tìm \( N \mod 81 \).

### Sử dụng Chu kỳ \( 10 \mod 81 \):

Thực hiện tính toán:

\[
10^1 \mod 81 = 10
\]
\[
10^2 \mod 81 = 19
\]
\[
10^3 \mod 81 = 28
\]
\[
10^4 \mod 81 = 37
\]
...

Giá trị \( 10^{9} \mod 81 = 1 \), tức là chu kỳ lặp lại 9 bậc.

Với điều này, ta có thể tính \( 10^{4k} \, mod \, 81 \).

### Tìm \( N \, mod \, 81 \):

Chúng ta có:

\[
N \equiv 2024 \times S \mod 81
\]

Tìm \( 2024 \mod 81 \):

\[
2024 = 81 \times 24 + 76 \implies 2024 \equiv 76 \mod 81
\]

Và nếu mỗi \( k \) là bội số 9 thì \( S \equiv 0 \mod 81 \).

Vì vậy nếu \( k \) là bội số của 9 (vd: \( k = 9, 18, \ldots \)), ta có:

\[
N \equiv 76 \times 0 \equiv 0 \mod 81
\]

### Kết luận:

Do đó, khi \( k \) là bội số của 9, \( N \) sẽ chia hết cho 81 và không thể chia hết cho 5. Từ đó, \( N \) sẽ không chia hết cho 2025 trong mọi trường hợp.

Vì vậy, không thể chứng minh rằng luôn tồn tại dạng số \( N = 20242024\ldots2024 \) chia hết cho 2025.