Với a, b, c khác 0 thỏa mãn a+b+c khác 0 và 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c, tính p=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)

Chúng ta có điều kiện \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} \). Để làm việc với điều kiện này, ta sẽ biến đổi nó thành một dạng hợp lý hơn.

Bắt đầu từ điều kiện đó, ta nhân cả hai bên với \( abc(a+b+c) \):

\[
bc(a+b+c) + ac(a+b+c) + ab(a+b+c) = abc
\]

Khi nhân và rút gọn, chúng ta có:

\[
abc + bca + cab + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b = abc
\]

Ta có:

\[
bca + cab + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b = 0
\]

Giờ đây chúng ta sẽ tính giá trị của \( p = \left(1 + \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right) \).

Ta sẽ tính từng phần:

\[
1 + \frac{a}{b} = \frac{b+a}{b}, \quad 1 + \frac{b}{c} = \frac{c+b}{c}, \quad 1 + \frac{c}{a} = \frac{a+c}{a}
\]

Vậy \( p \) trở thành:

\[
p = \frac{(b+a)(c+b)(a+c)}{abc}
\]

Chúng ta sẽ dễ dàng nhận thấy rằng \( (b+a)(c+b)(a+c) \) là một đa thức bậc 3 của a, b, c.

Căn cứ vào điều kiện đã nhân trước đó và dựa trên cấu trúc hồi đáp, chúng ta không nhận được giá trị cụ thể của \( p \) chỉ từ điều kiện đã cho. Tuy nhiên, nếu ai đó giải thích rõ hơn về bản chất của a, b, c, hoặc quy luật mà chúng tuân theo, chúng ta có thể tìm được giá trị của \( p \).

Qua tiến trình tính toán ở trên, có thể thấy rằng kết quả tính \( p \) phụ thuộc vào cách mà a, b, c được xác định.

Vì vậy, dưới các điều kiện đã cho, ta chỉ có thể nói rằng:

\[
p = \frac{(b+a)(c+b)(a+c)}{abc} \, (1)
\]

Nếu \( a + b + c \neq 0 \) và các giá trị còn lại thoả mãn điều kiện ban đầu, chúng ta không thể rút ra một số cụ thể cho \( p \). Tuy nhiên, với những giả thiết và số cụ thể cho a, b, c, có thể tính \( p \) chi tiết hơn.