Cho số dương n chứng minh rằng [ căn 28 n+9]=[ căn 28n+10]

Để chứng minh rằng \(\lfloor \sqrt{28n + 9} \rfloor = \lfloor \sqrt{28n + 10} \rfloor\) cho số dương \(n\), chúng ta cần phân tích sự khác biệt giữa hai biểu thức dưới dấu căn.

Chúng ta có:
\[
\sqrt{28n + 10} - \sqrt{28n + 9} = \frac{(28n + 10) - (28n + 9)}{\sqrt{28n + 10} + \sqrt{28n + 9}}
\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{28n + 10} + \sqrt{28n + 9}}
\]

Biểu thức \(\sqrt{28n + 10} + \sqrt{28n + 9}\) luôn dương với mọi \(n > 0\). Do đó, chúng ta có một số chiều dương.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính xem hiệu số giữa hai căn này, cụ thể ta cần tìm điều kiện để:
\[
\sqrt{28n + 10} - \sqrt{28n + 9} < 1.
\]
Điều kiện này sẽ giúp chúng ta xác định rằng phần nguyên của chúng là giống nhau.

Từ đó, ta có:
\[
\sqrt{28n + 10} - \sqrt{28n + 9} < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{28n + 10} + \sqrt{28n + 9}} < 1.
\]
Vậy ta cần chứng minh rằng:
\[
\sqrt{28n + 10} + \sqrt{28n + 9} > 1.
\]
Điều này đúng với mọi số dương \(n\) vì \(\sqrt{28n + 10} > 0\) và \(\sqrt{28n + 9} > 0\) cho \(n > 0\).

Do đó, ta có:
\[
\sqrt{28n + 10} - \sqrt{28n + 9} < 1,
\]
và từ đó suy ra rằng:
\[
\lfloor \sqrt{28n + 9} \rfloor = \lfloor \sqrt{28n + 10} \rfloor.
\]

Do đó, ta đã chứng minh rằng:
\[
\lfloor \sqrt{28n + 9} \rfloor = \lfloor \sqrt{28n + 10} \rfloor \text{ cho mọi số dương } n.
\]
Chứng minh hoàn tất.