Để chứng minh \( MN \parallel AD \) trong hình bình hành \( ABCD \), ta có thể sử dụng tính chất của các đường phân giác và các góc trong hình bình hành.

1. **Gọi các góc**:
- Gọi \( \angle OAB = x \) và \( \angle OBA = x \) (vì \( AB \parallel CD \)).
- Do đó, \( \angle AOD = 180^\circ - 2x \).
- Tương tự, gọi \( \angle ODC = y \), ta có \( \angle COD = 180^\circ - 2y \).

2. **Sử dụng tính chất phân giác**:
- Đường phân giác \( AM \) chia \( \angle AOB \) thành hai góc bằng nhau. Vậy \( \angle OAM = \angle OMB = x \).
- Đường phân giác \( DN \) chia \( \angle DCO \) thành hai góc bằng nhau. Vậy \( \angle ODN = \angle OCN = y \).

3. **Xét các góc**:
- Ta có \( \angle AND = \angle AOD - \angle OAD = (180^\circ - 2x) - x = 180^\circ - 3x \).
- Tương tự, \( \angle BNC = \angle BOC - \angle ODB = (180^\circ - 2y) - y = 180^\circ - 3y \).

4. **Sử dụng tính chất đồng dạng**:
- Khi \( MN \) là đường thẳng chia đôi các góc \( ADN \) và \( BNC \), ta có:
\[
\angle AND + \angle BNC = (180^\circ - 3x) + (180^\circ - 3y) = 360^\circ - 3(x + y)
\]
- Vì \( x + y = 90^\circ \) (do \( A + B + C + D = 360^\circ \)), nên \( 3(x + y) = 270^\circ \).

5. **Kết luận**:
- Do đó, ta có \( 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \), cho thấy rằng \( \angle AND + \angle BNC = 180^\circ \).
- Điều này dẫn đến kết luận rằng \( MN \parallel AD \).

Từ những bước trên, ta đã chứng minh được rằng \( MN \parallel AD \).