Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một như yêu cầu:

### a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.

Trong ΔABC vuông tại A:

- \( AB \) là cạnh đối diện với góc A.
- \( AC \) là cạnh kề với góc A.
- \( BC \) là cạnh huyền.

Vì BD là tia phân giác của góc ABC, ta có:

- \( \angle ABD = \angle EBD \) (do BD là tia phân giác).

Ngoài ra, có:

- \( AB = BE \) (theo giả thiết).

Cuối cùng, cả hai tam giác đều có cạnh chung BD. Vậy, theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (C.G.C), ta có:

\[
\triangle ABD \cong \triangle EBD.
\]

### b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.

Từ phần (a), ta có ΔABD = ΔEBD.

- Từ dấu hiệu đồng dạng, ta suy ra:
- \( AD = BE \) (từ tam giác ABD và EBD tương ứng)

Mà \( BE = AB \) (theo giả thiết), do đó:

\[
AD = AB.
\]

Bây giờ, để chứng minh \( DE \) vuông góc với \( BC \), ta sẽ dùng tính chất của góc.

Tur này, từ tam giác ABD và tam giác EBD (tương ứng), có \( DE \) là cạnh đối diện, tạo thành hai góc vuông với \( BC \) trong tam giác ABD và EBD, nên:

\[
DE \perp BC.
\]

### c) Chứng minh: BD vuông góc AE và IA = IE (I thuộc AE).

Vì BD là tia phân giác, ta có: \( \angle ABD = \angle EBD \).

Vì \( DE \) vuông góc với \( BC \) theo kết quả phần (b), nên \( DE \perp AE \) (do AE nằm trên đường thẳng BC).

Lại có \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \), ta sẽ sinh ra một điểm \( I \) nằm trên AE sao cho:

\[
IA = IE.
\]

### d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.

Xét \( AF = CE \).

- Đặt \( D \) là trung điểm của \( CE \) (do AE, CE có cùng độ dài).
- Mặt khác, ta biết rằng BD là tia phân giác của \( \angle ABC \).

Ta có hai tam giác ABD và EBD đồng dạng, dẫn đến \( D \) nằm trên đường thẳng nối EF.

Do đó để chứng minh ba điểm F, D và E thẳng hàng, ta có hai đoạn thẳng DF và DE là các đoạn thẳng chéo nhau và cùng chiều, ta thấy:

\[
F, D, E \text{ thẳng hàng.}
\]

Kết thúc các phần chứng minh.