Để tìm giá trị nguyên của \( n \) sao cho \( n + 3 \) chia hết cho \( n - 1 \), trước tiên chúng ta có thể viết điều kiện chia hết này dưới dạng phương trình:

\[
n + 3 \equiv 0 \mod (n - 1)
\]

Điều này có thể được viết lại là:

\[
n + 3 = k(n - 1) \quad (k \text{ là một số nguyên})
\]

Rút gọn phương trình này, ta có:

\[
n + 3 = kn - k
\]
\[
n - kn = -k - 3
\]
\[
n(1 - k) = -k - 3
\]
\[
n = \frac{-k - 3}{1 - k}
\]

Khi \( k = 1 \), phương trình trở thành không xác định. Do đó, chúng ta cần kiểm tra các giá trị khác của \( k \).

**Trường hợp \( k = 0 \)**:

\[
n = \frac{-0 - 3}{1 - 0} = -3
\]

**Trường hợp \( k = -1 \)**:

\[
n = \frac{-(-1) - 3}{1 - (-1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]

**Trường hợp \( k = 2 \)**:

\[
n = \frac{-2 - 3}{1 - 2} = \frac{-5}{-1} = 5
\]

**Trường hợp \( k = 3 \)**:

\[
n = \frac{-3 - 3}{1 - 3} = \frac{-6}{-2} = 3
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra lại các giá trị vừa tìm được để đảm bảo điều kiện chia hết:

1. Với \( n = -3 \):
\[
-3 + 3 = 0, \quad -3 - 1 = -4 \quad (0 \text{ chia hết cho } -4)
\]

2. Với \( n = -1 \):
\[
-1 + 3 = 2, \quad -1 - 1 = -2 \quad (2 \text{ chia hết cho } -2)
\]

3. Với \( n = 3 \):
\[
3 + 3 = 6, \quad 3 - 1 = 2 \quad (6 \text{ chia hết cho } 2)
\]

4. Với \( n = 5 \):
\[
5 + 3 = 8, \quad 5 - 1 = 4 \quad (8 \text{ chia hết cho } 4)
\]

Vậy các giá trị nguyên của \( n \) là \( n = -3, -1, 3, 5 \).