Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + \frac{2}{a} \geq 3 \) với \( a > 0 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp chia sẻ.

### Phương pháp 1: Bất đẳng thức AM-GM

Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng - hình học (AM-GM):

\[
a^2 + \frac{2}{a} \geq 3 \sqrt[3]{a^2 \cdot \frac{2}{a}} = 3 \sqrt[3]{2a}
\]

Để áp dụng, ta cần chứng minh rằng:

\[
\sqrt[3]{2a} \geq 1 \quad \text{hay} \quad 2a \geq 1 \quad \text{hay} \quad a \geq \frac{1}{2}
\]

Bất đẳng thức đã được chứng minh với \( a \geq \frac{1}{2} \).

### Phương pháp 2: Đưa về dạng một biến

Xét hàm số \( f(a) = a^2 + \frac{2}{a} \).

Tìm giá trị cực trị của \( f(a) \) bằng cách tính đạo hàm:

\[
f'(a) = 2a - \frac{2}{a^2}
\]

Đặt \( f'(a) = 0 \):

\[
2a - \frac{2}{a^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a^3 = 2 \quad \Rightarrow \quad a^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1
\]

Xét dấu đạo hàm:

- Khi \( 0 < a < 1 \): \( f'(a) < 0 \)
- Khi \( a > 1 \): \( f'(a) > 0 \)

Vì vậy, \( a = 1 \) là điểm cực tiểu. Tính giá trị của hàm số tại điểm này:

\[
f(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3
\]

Do đó, với mọi \( a > 0 \), ta có:

\[
f(a) \geq f(1) = 3
\]

### Kết luận

Vậy ta đã chứng minh được rằng với \( a > 0 \):

\[
a^2 + \frac{2}{a} \geq 3
\]