Để giải bài toán này, ta sẽ theo từng phần một.

**a)** Ta cần chứng minh rằng \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \).

- Ta có \( AB = BE \) (giả thiết).
- Góc \( ADB = EDB \) (cùng là góc chắn giữa hai đoạn thẳng cùng nằm phía trên).
- \( BD \) là cạnh chung của hai tam giác.

Áp dụng tiêu chuẩn cạnh–góc–cạnh (c.g.c), ta có:

\[ \triangle ABD \cong \triangle EBD \]

**b)** Từ sự đồng nhất đó, ta có:

\[ BD = AE \] (theo tính chất của các tam giác đồng dạng).

**c)** Kẻ \( AH \perp BC \) với \( H \in BC \). Ta sẽ chứng minh \( CM: AH \parallel DE \).

Sử dụng tính chất về đường vuông góc và song song, ta thấy:

- Góc \( CAB = \angle EDB \) (do các tam giác đồng dạng).
- Vì vậy, \( \angle AHB = \angle EDC \)

Và như vậy, \( AH \parallel DE \).

**d)** So sánh các góc ta có:

\[ \angle ABC = \angle EDC \]

Do đó, hai góc này cũng bằng nhau.

**e)** Gọi \( K \) là giao điểm của \( ED \) và \( BA \), \( M \) là trung điểm của \( KC \).

Chứng minh rằng \( B, D, M \) thẳng hàng sẽ dựa trên:

- Tính đồng dạng của các tam giác.
- Tính chất giao điểm và trung điểm của đoạn thẳng sẽ làm cho \( D \) nằm trên đường thẳng \( BM \).

Trong mỗi phần, có thể sử dụng các tính chất hình học để hỗ trợ cho chứng minh. Việc chứng minh các phần này yêu cầu nắm rõ các định lý và tính chất trong hình học phẳng về tam giác, các đường song song, và tính chất góc.