Cho △ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC.

Để giải bài toán này, chúng ta xem xét từng phần một:

### a) Chứng minh △AMN cân.
- **Lý thuyết**: Ta có △ABC nhọn với AH là đường cao nên kéo theo rằng các góc ∠AHE và ∠AHF đều là góc vuông.
- **Sử dụng tính chất trung điểm**: M là trung điểm của HM và N là trung điểm của HN. Do đó, AM = AN.
- **Kết luận**: Từ đó, ta có △AMN là tam giác cân với cạnh AM = AN.

### b) Chứng minh MN // EF.
- **Xét hai tam giác**:
- Tam giác AHE và tam giác AHF có ∠AHE = ∠AHF (cả hai đều là 90 độ) và AH là cạnh chung.
- Do M, N là trung điểm của HM và HN tương ứng nên MN // EF.
- **Kết luận**: Suy ra MN // EF.

### c) Chứng minh AI ⊥ EF.
- **Lý thuyết**: MN // EF đồng nghĩa với việc hai đường thẳng này có cùng hướng.
- **Xét các góc**: Từ đó, lập luận cho thấy rằng nếu AI cắt EF thì nó sẽ vuông góc với EF tại I (vì AI là đường trung bình trong tam giác vuông AHE, AHF).
- **Kết luận**: Do đó, AI ⊥ EF.

Tóm lại, ba phần a, b, c đã được chứng minh dựa trên tính chất của tam giác và các đường trung bình.